画像の定理3.1のところからw_r+1のところまで簡単で良いので訳の方本当にお願いします。自分でもやったのですが、subspaceあたりから内容が取れません。出来ればその部分辺りは詳しく書いていただけると助かります。本当に困ってます。どうかお願いします。

「数学に関する英文の訳をお願いします」の質問画像

A 回答 (2件)

まず, こちら ↓ のサイトは, 添付できる画像サイズが小さく判読不可能なので, 文字をすべて入力する覚悟が必要でしょう.


https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

数学の専門書(洋書)で使われる英文は非常に簡単だ, などと豪語する数学科学生(や教員)が多数いますが, 完全な勘違いでしょう.
彼らの英語力は低すぎて, 正確な英文解釈は絶対に無理ですが, 数学の知識を頼りに, 大雑把な意味は把握できているようです.
よって, 貴方の場合も, 線型代数学の知識が十分に備わっていれば, 今回の質問はしなくて済んでいたと思われます.
教科書が日本語で書かれた線型代数学の専門書なら, この定理をすんなり理解できていたでしょうか.

最初の関門ですが, <w_1, v_2, ..., v_m> = V となることは, 理解できましたか.
w_1 が v_2, ..., v_m の線型結合として表される場合, どのような作業が要求されるか, そこは大事です.
そこまでを理解しているなら, 流れを変えないことです.
つまり, w_2 ∈ <v_1, v_2, ..., v_m> と考えるのではなく, w_2 ∈ <w_1, v_2, ..., v_m> と考えましょう.
それによって, 今度は <w_1, w_2, v_3, ..., v_m> = V が導けます.

これを繰り返すことにより, <w_1, w_2, ..., w_(m-1), v_m> = V までたどり着けるので,
これまでと同様に <w_1, w_2, ..., w_(m-1), w_m> = V を示して, ほぼ終了です.
m + 1 ≦ n であることから, w_(m+1) ∈ <w_1, w_2, ..., w_(m-1), w_m> がいえますが,
このことは, 証明の最初で宣言した
Assume that w1, ..., w_n are linearly independent.
と, 明らかに矛盾します.

何か疑問があれば, 遠慮なく質問してください.
内容は数学と英語, どちらでも構いません.
なるべく丁寧にお答えします.
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この回答へのお礼

質問したいことがあり、質問したので申し訳ないですが回答お願い致します

お礼日時:2017/07/16 14:00

始めにお断り・・!



当方、英語大っ嫌い人間! (何10年も前の当方の学生当時の英語の成績は「下」!!)
である事を質問者が了解の上、
当方の奇妙な訳でよければ、下記参に考されたい。
(印刷が不鮮明で判読出来ないところあり、サフィックスも(nなのかmなのか)曖昧な部分有り・・!)
間違いがあれば質問者の側で適当に修正してほしい・・!
---------------------------------------------
定理3.1
Vを体K上のベクトル空間とせよ。
{v_1,…,v_m}をKにおけるVの基底とせよ。
w_1,…,w_mをVの要素とし、n>mを仮定せよ。
その時
w_1,…,w_n
は線形従属となる。

証明
w_1,…,w_nは線形従属であると仮定する。
それ故、{v_1,…,v_m}は基底となり、
w_1 = a_1v_1+…+a_mv_m
となるような
a_1,…,a_m∊K
が存在する。

仮定により、w_1≠O,従ってa_1≠0
v_1,…,v_mの数え直しの後、必要ならば一般性を失うことなく
a_1≠0 を仮定して良い。
この時我々はv_1に対し
a_1v_1 = w_1-a_2v_2-…-a_mv_m
v_1 = a_1^(-1)w_1-a_1^(-1)a_2v_2-…-a_1^(-1)a_mv_m
を得る。

w_1,v_2,…,v_mにより生成されるVの部分空間はv_1を含み、このため全てのVがそれ故に
v_1,v_2,…,v_mがVを生成しなければならない。
この考えは直ちに、連続して全ての要素v_1,…,v_mが網羅されるまで、w_2,w_3,…によって置き換えるために我々の手続きを続けるためのものであり、w_1,…w_mがVを生成する。
さて、帰納法により或る適当なv_1,…,v_mの数え直しの後、要素w_1,…,w_m,v_1…,v_mがVを生成する様な1≦r<mを満たす整数rが存在すると仮定せよ。

w_r+1 = b_1w_1+…+b_rw_r+c_r+1v_r+1+…+c_mv_m
となる様な体Kの要素
b_1,…,b_r,c_r+1,…,c_m
が存在する。
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