１～９を１回ずつ用いて…

１～９を１回ずつ用いて、等式
□□×□＝□□×□＝□□×□
が成り立つようにしなさい。

という問題の解き方を教えてください。

※自分なりに考えてわかったことは…
　①　一の位に５がくることはない。
　　　なぜなら、０は使用不可。５は一度しか使えないため。
　　　つまり、５□×□＝□□×□＝□□×□として良い。

　②　５□×□の左の因数は、素数である５３または５９ではない。
　　　なぜなら、５３の倍数は５３を除き３桁を超えてしまうため。
　　　なぜなら、５９の倍数は５９を除き３桁を超えてしまうため。


このあたりから、場合分けに頼るしかなくなってしまい、
煩雑になってしまいます。
その他に、有効な考え方を教えてください。
答えを知りたいというよりも、簡単な答えの見つけ方を知りたいです。
答えは（１６２＝）５４×３＝２７×６＝１８×９　？

No.1 ベストアンサー 回答者： metabolian 回答日時： 2017/07/17 13:01

Ｘ = AB×C = DE×F = GH×I （A～I ： 1～9のいずれか、X：ある整数）とすると、

① Xの1の位は B×C・E×F・H×I の1の位と同じ数である。
また、同じ数が使用できないことから、2×7 = 3×8 = 4×6のように
異なる種類の組み合わせが最低3パターン必要。
○ B×C・E×F・H×I の1の位
2: 1×2 = 4×3 = 6×2 = 7×6 = 8×4 = 9×8
4: 1×4 = 4×6 = 7×2＝８×3=9×6
6: 3×2 = 6×1 =7×８=8×2 =9×4

それ以外は、以下の理由で不適。
０・5：「パターンは十分だが、必ず5が必要」
1・3・7・9：「異なる積のパターン不足」
8：「パターンは十分あるが、3パターン選択時にどれを選んでもダブる数がある。」

② Ｘは AB・C ・ DE・F ・ GH・I の（異なる）6つの数で割り切れる。
C・F・Iが互いに素だとすると、例えばABはF・Iを約数にもつ。（⇒二けたの数AB・DE・GHは素数ではない。）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

①について、１桁目に注目すると、多くの場合が否定できるのですね。参考になりました。あれから自分でも考えてみて、Ｘは奇数とはならない（一桁の奇数が１・３・５・７・９のみであり、６つの数を奇数にできないため）ことがわかりましたが、一の位が８の場合も否定できて、とても参考になりました。

②は、初等整数論的な考え方で、こちらも参考になりました。

教えていただきありがとうございます。

ここから更に答えに迫る考え方がありましたらお願いします。

お礼日時：2017/07/19 21:39