ミスチルの大名曲の数々が配信決定!! 31日間無料!!【PR】

a[n+1]=cos(πa[n])
この数列の極限は何に収束しますか?
初項によって場合分けすると思うのですがどうすればいいかわかりません。

A 回答 (5件)

y=xのグラフとy=cos(πx)のグラフを描くと交点が2ヶ所出来る。

そのうちのxが小さい方のx座標をβとする。-1≦a[k]<β が成り立てば-1に収束するわけだ。
んじゃ、おやすみ。
    • good
    • 0

4は少しおかしなことを書いた。


交点は2ヵ所ではなく3ヵ所。
その何れかに収束する。
    • good
    • 0

確かに cos 値が有理数になるように初項を与えるとすぐに -1 に落ち着きますね。



収束条件を見つけるのが大変ですけど何かあるのかな?

無理数になるとすっ飛んでしまって規則性が見つかりません。
    • good
    • 0

初項によっては-1に収束しそうではあります。


あれやこれやと試すうちに何か気がつけるというタイプの問題のように見えます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

-1に収束しそうなのは試行錯誤ののち気づいたのですがそこからどうすればいいかがわかりません..

お礼日時:2017/07/15 22:01

どう考えても収束するとは思えません。

永久に振動するタイプの発散だと思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

色々な値を入れて見たのですがほとんどが-1に収束します..

お礼日時:2017/07/15 22:00

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q高校の数学の複素数平面って存在価値あるのですか? 別に習わなくても良くね?

高校の数学の複素数平面って存在価値あるのですか?
別に習わなくても良くね?

Aベストアンサー

複素数平面以外は、存在価値を見て解ているのですか?

三角関数、指数関数、対数なんかも同じでしょ。
ましてや、微分、積分なんて、いつ使う?

何にもしないあなたには、宝の持ちぐされです。

Q三角関数の極限値

以下の問題ですが、解法が分からず、解説もなく、周りに質問できる人もいないので、解説を教えていただけませんか?

(1)lim[x→π]tanx/x-π

(2)lim[x→∞](x・sin1/x)

Aベストアンサー

lim[x→0] sinx /x =1
lim[x→0] tanx /x =lim[x→0] sinx/cosx ・1/x
=lim[x→0] 1/cosx ・sinx /x =1・1=1

という式を知っていれば、難しいことはありません。
あとはどうにか変形してこの式を用いて表せるかを考えるだけです。

(1)では、まず tan(π-x) = -tan x から
lim[x→π] tanx /(x-π) =lim[x→π] -tan(π-x) /(x-π) =lim[x→π] tan(π-x) /(π-x)
と変形します。
あとは π-x=t とでもおけば、x→π なら t→0 になることから
lim[x→π] tan(π-x) /(π-x)
=lim[t→0] tan(t) /t
と変形するだけですね。

(2)は x= 1/(1/x) であることに気づけば、
lim[x→∞] (x・sin1/x) =lim[x→∞] (sin1/x)/(1/x)
ここで 1/x=t とおけば、x→∞ なら t→0 なのだから
lim[x→∞] (sin1/x)/(1/x)
=lim[t→0] sin(t) /t
と変形できます。

解答は最初に示した式から明らかでしょう。

lim[x→0] sinx /x =1
lim[x→0] tanx /x =lim[x→0] sinx/cosx ・1/x
=lim[x→0] 1/cosx ・sinx /x =1・1=1

という式を知っていれば、難しいことはありません。
あとはどうにか変形してこの式を用いて表せるかを考えるだけです。

(1)では、まず tan(π-x) = -tan x から
lim[x→π] tanx /(x-π) =lim[x→π] -tan(π-x) /(x-π) =lim[x→π] tan(π-x) /(π-x)
と変形します。
あとは π-x=t とでもおけば、x→π なら t→0 になることから
lim[x→π] tan(π-x) /(π-x)
=lim[t→0] tan(t) /t
と変形するだけですね。

(2)は x= 1/(1/...続きを読む

Qこれってこう解けないんですか??(logの累乗の積分)

これってこう解けないんですか??(logの累乗の積分)

Aベストアンサー

皆さんの言われるように、計算力だけのつまらない積分です!3回部分積分するだけ!

Qlim[θ→0]θ/tanθ=1の証明が分かりません。 回答の程宜しくお願い致します。

lim[θ→0]θ/tanθ=1の証明が分かりません。
回答の程宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

いろいろな考え方で、解いてみます。(ちょっと無理があるかも?)
 基礎知識は ・中間値の定理
       ・tanΘが連続で(tanΘ)'=1/(CosΘ)^2 となること。かな。

 lim[θ→0]θ/tanθ において、θ→0の状態でΘ≠0だから分母分子をΘで割って
 lim[θ→0]θ/tanθ=lim[θ→0]1/(tanθ/Θ) の繁分数にすると分子は常に1だから分母の(tanΘ)/Θ に注目して
 分母: lim[θ→0]tanθ/Θ を解くf(Θ)=tanΘとする。f(Θ)は連続で0近傍で微分可能
   中間値の定理より
          (f(Θ)-f(0))/(Θ-0) とすれば(f(Θ)-f(0))/(Θ-0)=f'(α)となるαが存在する。(ただし0<α<Θ)
この状態でθ→0とするからα→0となるのでlim[θ→0]tanθ/Θ=lim[θ→0](f(Θ)-f(0))/(Θ-0)
            =lim[θ→0]f'(α)=lim[α→0]f'(α)=lim[α→0]{1/(Cosα)^2}=1
よって分母も1だからlim[θ→0]θ/tanθ=1が言える。

いろいろな考え方で、解いてみます。(ちょっと無理があるかも?)
 基礎知識は ・中間値の定理
       ・tanΘが連続で(tanΘ)'=1/(CosΘ)^2 となること。かな。

 lim[θ→0]θ/tanθ において、θ→0の状態でΘ≠0だから分母分子をΘで割って
 lim[θ→0]θ/tanθ=lim[θ→0]1/(tanθ/Θ) の繁分数にすると分子は常に1だから分母の(tanΘ)/Θ に注目して
 分母: lim[θ→0]tanθ/Θ を解くf(Θ)=tanΘとする。f(Θ)は連続で0近傍で微分可能
   中間値の定理より
          (f(Θ)-f(0))/(Θ-0) とすれば(f(Θ)-f(0...続きを読む

Q放物線と円が接する問題について

リンクの画像の問題で、放物線と円が二点で接する場合に判別式D=0となる理由がよくわかりません。一点で接する場合もyの値は一つなのでD=0となるのではないんでしょうか?
私の考えのどこが間違ってるのか教えていただけると幸いです。
http://i.imgur.com/8a0wbf9.jpg

Aベストアンサー

【 接する 】ということを、少し変わった角度から考えて・・・


『 2個の交点が近づいて、一致したとき接点になり、接する 』
  ~~~~~~~~~~

2次方程式の解は、x軸との交点のx座標の値で、
2つの解をα、βとすると、2次方程式は、
(x-α)(x-β)=0
で表され、グラフ(ア)のようにx軸と異なる2点で交わる。


(ア)のグラフを上方に平行移動させるとαとβが近づいていき、
しまいには、αとβが一致して、
グラフ(イ)のように、x軸と接する。

このとき、α=βとなり、
(x-α)^2=0
となって重解になる。
つまり、判別式D=0

問題の解答は、
y=x^2+a と x^2+y^2=9 から x を消去して
(y-a)+y^2=9
y^2+y-a-9=0
と、yの2次方程式になっています。

[1] 放物線と円が2点で接するとき
グラフ(ウ)のように2点で交わり、
放物線を下方に平行移動させると2個の交点が近づいていき、
ついには、2個の交点が一致して
グラフ(エ)のように円と接する。

yの2次方程式だから、yの値が2個(α、β)あり、
(グラフはx軸に関して対称だから、x>0で考える)
グラフを平行移動させることにより
α=βとなり、円と接することになる。

(添付写真があるので、次に続く)

【 接する 】ということを、少し変わった角度から考えて・・・


『 2個の交点が近づいて、一致したとき接点になり、接する 』
  ~~~~~~~~~~

2次方程式の解は、x軸との交点のx座標の値で、
2つの解をα、βとすると、2次方程式は、
(x-α)(x-β)=0
で表され、グラフ(ア)のようにx軸と異なる2点で交わる。


(ア)のグラフを上方に平行移動させるとαとβが近づいていき、
しまいには、αとβが一致して、
グラフ(イ)のように、x軸と接する。

このとき、α=βとなり、
(x-α)^2=0
...続きを読む

Q複素数

高校数学の複素数の意味が全く分からないです。

これが分からないと何も問題が解けないというかしっかりできていないので何なのか是非教えてください。

Aベストアンサー

実数が数直線上にあるとすれば数直線からはみ出したところにある数を実数に対して虚数と言います。

虚数は数直線外にあるというだけですからその概念は考え方によって複数考えられますが、高校の数学では複素平面上に存在している複素数だけを取り扱います。

ある実数に-1をかけると、原点を中心に180° 回転した位置にある数になりますが、これを90° 回転させる数があると想定すると数直線からはみ出して複素平面上で原点の真上に位置する数を指します。このような数を虚数単位と呼び、数学では "i" で表します。(物理学では "i" は電流を表すため、虚数単位は "j" で表す約束になっています。)

ならば、60° 回転させるには? と考えると図形を描いてみれば解りますね。(1+i√3)/2 をかければよいということになります。

こんな風に図形として捉えることができれば何とかなると思います。

Q高校数学の数列において、どんな文字の列でも数列(数を一列に並べたもの)と言えますか?

高校数学の数列において、どんな文字の列でも数列(数を一列に並べたもの)と言えますか?

Aベストアンサー

数学において「数列」とは、「ある一定の規則に従って並べられた数の列」です。
無作為に並んでいるだけでは、数学上は数列とは言いません。
(国語的解釈では、数字が並んでいれば「数列」と云えるでしょうが。)

したがって「a1,a2,a3,……,an,…… 」が数列であるためには、
何らかの法則によって、それぞれの項が決められねばなりません。

Q数列の極限の公式の証明について

limは全てn→∞です。

「lima_n=A , limb_n=Bのとき、lim(a_n+b_n)=A+Bである」
これの証明を調べていたら、いくつか見つけたのですが、
全て「任意のe(>0)をとり、|A-a_n|<e/2 が成り立つので…」と書かれています。

大学の課題で出されたものは、
「任意のε(>0)に対して、ある自然数Nが存在していて、n>Nならば|A-a_n|<ε となることを用いて」
という条件が付いています。

この課題の回答として、ε=e/2として証明を進めてもいいのでしょうか。
そうすると、最終的に|A-a_n|+|B-b_n|<2ε になってしまうと思うのですが…
ご回答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

もちろん, 最終的に
|A-a_n|+|B-b_n|<2ε
になる.

どこが不安でしょうか?

Q√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-6 この計算のどこがおかしいですか?

今高校数学2 複素数と二次方程式 の範囲を勉強しているのですが、
√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-√6  
この式のどこが間違っているのか分かりません!教えて下さい!
ご回答宜しくお願いします!

Aベストアンサー

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」とがOKなことと
「負の数の根号」×「負の数の根号」の“計算”が
今まで通りOKなことは違うということです。

つまり、根号の中身が負のときには
√a × √b = √ab 
とは計算してはいけないということ。

数学Ⅰの教科書を見てください。
性質★ a>0 b>0 のとき √a × √b = √ab
と書いてありますよね!

√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-√6 

の計算式では左から2つめの=が誤っていて、それ以外の=は正しいです。
--------------------------------------------------

No4の回答について

> √(ー2)(ー3)=√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=√(ー1)²√2√3=√2√3=√6 だから。 ☆

2つ目の=と3つ目の=が計算の性質★に違反しています。

>この部分を√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=i√(2)i√(3)としてはダメな理由を教えて頂けませんか?
ダメでなく、正しいです。(これは自信を持ってください!)
でも数式☆では2つめの=がNGだから、√6とは等しくありませんね!

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」と...続きを読む

Q0^0 での積の定義

0^0 (0の0乗)については、「0個の0の積」という言い表し方は妥当だと考えます。
この時、積はどう定義するのが妥当でしょうか?

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9212855.html
という過去の質問においては、
「0個の○○」と「0個の××」に違いは無いという結論に落ち着いたため、
「0個の0の積」と「0個の2の積」より、すなわち
 0^0=2^0=1
という結果が導けてしまうので、これを否定するような別な定義があれば色々提示してください。

Aベストアンサー

私の中で、あなたの質問の意図が鮮明になってきました。

あなたの問いは(当たり前かもしれませんが)まさにこのQAのQに書かれていることそのものですね。外の人からみれば、なんと私は頭が悪いのだ、と言われそう。私以外の回答者は、みな理解できていたのかもしれません。ただ、質問者には苦労をかけましたが、私にとっては、質問者の解釈を鮮明にする上で、これまでの考察は無駄ではなかったと考えます。特に、「0個の0の積」を質問者がどう解釈しているかがわかってきた。

さて、私は、あなたが0^0=1を導いた過程は正しいと考えます。少なくとも「0個の0の積」と「0個の2の積」が等しいことも苦労なく認めることができる。

>「0個の○○」と「0個の××」に違いは無いのだから、
どんな決まりに置き換えても 0^0=1 という結論が出る。
……それは正しいか?

あなたの問いは奥が深い。
公理 「0個の○○」は全て等しい を認めるとする。
このとき、任意の「決まり」から0^0=1が導かれるか

反対に、ある「決まり」が存在して0^0=1が否定されるか

ですね。任意の「決まり」を考えることが非常に難しい。
先の回答者が、このQAは公理系だと仰っていたことがなんとなくわかったような気がします。

私の中で、あなたの質問の意図が鮮明になってきました。

あなたの問いは(当たり前かもしれませんが)まさにこのQAのQに書かれていることそのものですね。外の人からみれば、なんと私は頭が悪いのだ、と言われそう。私以外の回答者は、みな理解できていたのかもしれません。ただ、質問者には苦労をかけましたが、私にとっては、質問者の解釈を鮮明にする上で、これまでの考察は無駄ではなかったと考えます。特に、「0個の0の積」を質問者がどう解釈しているかがわかってきた。

さて、私は、あなたが0^0=1を導い...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング