１～９を１回ずつ用いて その２

１～９の数を１回ずつ□に入れて
■□□　①
×■□　②
ーーー
■□□　③
＋□□　④
ーーー
■□□　⑤

が成立するようにしなさい。
※■は空白を表しています。
①×②の計算結果が③、次に③に④を足して⑤を計算します。



という問題の効率的な解き方を教えてください。

コンピュータで全パターンを網羅的に計算したところ
答えが得られましたが、論理的に解く方法を考えています。
■１７　①
×■４　②
ーーー
■６８　③
＋２５　④
ーーー
■９３　⑤


①が４９以下であること　※そうでないと③が３桁を超える
①の一の位が５でないこと
①の一の位が１でないこと
②が５でないこと
②が１でないこと
などは明らかですが、その他、有効な考え方はないでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2017/07/18 22:05

(10a+b)×c = 10d+e

　　10d+e + 10f+g = 10h+i
　　{a,b,c,d,e,f,g,h,i} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
という問題っすね。

　　a∈{1,2,3,4}
　　{b,c}⊂{2,3,4,6,7,8,9}
　　e+g ≡ i または e+g = 10+i
　　d+f = h または d+f+1 = h
であることは自明。
また、
　　10h+i ≦ 98
だから
　　10d+e ≦ 98-(10f+g)
でなくてはならない。一方
　　10f+g ≧ 12
だから
　　10d+e ≦ 98-12 = 86
である。さらに
　　a=1ならば bc≧10
ということも分かる。(さもないと、d=cになる。）

で。

● まずはc≧6の場合を考える。
　　(10a+b)×c = 10d+e ≦ 86
より
　　(10a+b) ≦ [86/6] = 14 ([x]はxの整数部分のこと)
従って　a=1 である。だから
　　10f+g ≧ 23
であり、ゆえに
　　10d+e ≦ 98-23 = 75
なので
　　(10a+b) ≦ [75/6] = 12
従ってa=1,b=2であると決まる。（c≧6なのでbc≧10は満たされる。）
さて、1と2が使用済みだから
　　10f+g ≧ 34
ゆえに
　　10d+e ≦ 98-34 = 64
なので
　　(10a+b) ≦ [64/6] = 10
である。これを満たすa,bはない。

以上から
　　c∈{2,3,4}
だと分かった。これを場合分けで調べて行く。

● c=4の場合を考える。
　　(10a+b)×4 = 10d+e ≦ 86
より
　　(10a+b) ≦ [86/4] = 21
ところがb≠1, b≠0 だから
　　(10a+b) ≦ 19
であり、従って　a=1 である。だから
　　10f+g ≧ 23
ゆえに
　　10d+e ≦ 98-23 = 75
なので
　　(10a+b) ≦ [75/4] = 18
一方，a=1なのでbc≧10より、b≧3
従って　
　　b∈{3,6,7,8}
である。
さて、 c=4, a=1, b∈{3,6,7,8}より、
　　(10a+b)×4 = 10d+e ∈ (52,64,68,72}
ここでb=6の場合同じ数字がダブっていて、アウト。ゆえに
　　c=4, a=1, b∈{3,7,8}, 10d+e ∈ (52,68,72}
つまり、
　　<a,b,c,d,e>∈{<1,3,4,5,2>, <1,7,4,6,8>, <1,8,4,7,2>}
である。
　　● <a,b,c,d,e>=<1,3,4,5,2>の場合
　　　　{f,g,h,i}={6,7,8,9}
　　である。
　　　　5+f=h または 5+f+1=h
　　を満たす事はできない。アウト。
　　● <a,b,c,d,e>=<1,7,4,6,8>の場合
　　　　{f,g,h,i}={2,3,5,9}
　　である。すると
　　　　6+f=h または 6+f+1=h
　　を満たすのは
　　　　<f,h> ∈{<2,9>, <3.,9>}
　　であり、h=9と決まる。すなわち
　　　　68 + 10f+g = 90+i
　　より
　　　　10f+g = 22+i, i∈{2,3,5}
　　だから
　　　　24≦10f+g≦27
　　ゆえにf=2と決まる。
　　　　g = 2+i, {i,g}={3,5}
　　だから、
　　　　g=5, i=3 と決まる。すなわち、
　　17×4 = 68, 68 + 25 = 93

　　● <a,b,c,d,e>=<1,8,4,7,2>の場合
　　　　{f,g,h,i}={3,5,6,9}
　　である。すると
　　　　7+f=h または 7+f+1=h
　　は満たせない。
以上から、c=4の場合、
　　17×4 = 68
　　68 + 25 = 93
が唯一の解である。

●c=3の場合を考える。
　　(10a+b)×3 = 10d+e ≦ 86
より
　　(10a+b) ≦ [86/3] = 28
なので a∈{1,2} である。
　　● <a,c>=<2,3>の場合
　　　　10f+g ≧ 14
　　　ゆえに
　　　　10d+e ≦ 98-14 = 84
　　　なので
　　　　　(20+b) ≦ [84/3] = 28
　　　よって
　　　　　b∈{4,6,7,8}
　　　であるから、
　　　　　<a,b,c,d,e> ∈ {<2,4,3,7,2>,<2,6,3,7,8>, <2,7,3,8,1>, <2,8,3,8,4>}
　　　数字がダブってるのを除くと
　　　　　<a,b,c,d,e> ∈ {<2,6,3,7,8>, <2,7,3,8,1>}
　　　である。
　　　　　●<a,b,c,d,e> = <2,6,3,7,8>の場合
　　　　　　　{f,g,h,i}={1,4,5,9}
　　　　　である。
　　　　　　　7+f=h または 7+f+1=h
　　　　　を満たすのは　
　　　　　　　<f,h>=<1,9>
　　　　　の場合。従って
　　　　　　　{g,i}={4,5}
　　　　　ところがe=8が偶数なので、g,iは両方とも奇数であるか、両方とも偶数でなくてはならない。
　　　　　よってアウト。
　　　　　●<a,b,c,d,e> = <2,7,3,8,1>の場合
　　　　　　　{f,g,h,i}={4,5,6,9}
　　　　　である。
　　　　　　　8+f=h または 8+f+1=h
　　　　　は満たせないので、アウト。
　　　よって、<a,c>=<2,3>はアウト。
　　● <a,c>=<1,3>の場合
　　　　10f+g ≧ 24
　　　ゆえに
　　　　10d+e ≦ 98-24 = 74
　　　なので
　　　　　(10a+b) ≦ [74/3] = 24
　　　(a=1)なので bc>10である。よって
　　　　　b∈{4,6,7,8,9}
　　　と分かる。
　　　　　<a,b,c,d,e> ∈ {<1,4,3,4,2>, <1,6,3,4,8>, <1,7,3,5,1>, <1,8,3,5,4>}
　　　のうちで、同じ数字がダブってるのを除くと、
　　　　　<a,b,c,d,e> ∈ { <1,6,3,4,8>, <1,8,3,5,4>}
　　　である。
　　　　　●<a,b,c,d,e> = <1,6,3,4,8>の場合
　　　　　　　{f,g,h,i}={2,5,7,9}
　　　　　　である。
　　　　　　　　8+g=i または 8+g=10+i
　　　　　　を満たすのは
　　　　　　　　<g,i>∈{<9,7>, <7,5>}
　　　　　　の2通りで、どちらも繰り上がりが生じるので
　　　　　　　　 4+f+1=h
　　　　　　を満たさねばならず、よって
　　　　　　　　<f,h>=<2,7>
　　　　　　と決まる。すると、g,iのどちらかと7がダブるので、アウト。
　　　　　●<a,b,c,d,e> = <<1,8,3,5,4>の場合
　　　　　　　{f,g,h,i}={2,6,7,9}
　　　　　　である。
　　　　　　　　4+g=i または 4+g=10+i
　　　　　　は満たせない。アウト。
　　　よって、<a,c>=<1,3>はアウト。
よってc=3はアウト。

●c=2の場合を考える。
　　(10a+b)×2 = 10d+e ≦ 86
より
　　(10a+b) ≦ [86/2] = 43
なので a∈{1,3,4} である。
　　● <a,c>=<4,2>の場合
　　　　10f+g ≧ 13
　　　ゆえに
　　　　10d+e ≦ 98-13 = 85
　　　なので
　　　　　(40+b) ≦ [85/2] = 42
　　　従って、b≦2である。ところがb≠1であり 2=c。なのでアウト。

…てな調子なのだが、字数制限に引っかかるようなので終わり。

この回答へのお礼

Ｃによる場合分けですね。なかなか難しい問題だということがわかってきました。ガウス記号など、とても緻密な考察になるのですね。

お礼日時：2017/08/06 18:34

No.2 回答者： にねはや 回答日時： 2017/07/22 18:01

stomachmanさんは、すごいですね

この回答へのお礼

そうですね。丁寧に、時間を割いて回答いただいたことに感謝しています。

お礼日時：2017/08/06 18:35