No.5
- 回答日時:
No.2です。
先ほどの証明中、(a-b)³≡0(mod3)ならばa-b≡0(mod3)は、つぎのようにしてもでます:
どんな整数nでも3で割った余りは0、1、2だからmod3で
n≡0、1、2 のいずれかです。したがってmod3でn³≡0、1、2³=8≡2となるので
3乗が3の倍数なら、もとの数が3の倍数です。
No.4
- 回答日時:
(2)
(a-b)≡0(mod3)
両辺を2乗すると
(a-b)²≡a²-2ab+b²≡0(mod3)
a³-b³≡(a-b){(a-b)²+3ab}
(a-b)²≡0(mod3)、3ab≡0(mod3)より
(a-b)²+3ab≡0(mod3)
∴a³-b³≡0(mod3)・0(mod3)≡0(mod9)
(3)
a³-b³=(a-b){(a-b)²+3ab}と書ける。また、3は素数なので、
a³-b³≡0(mod3)なら
(a-b)≡0(mod3) 又は(a-b)²+3ab≡0(mod3)
・(a-b)≡0(mod3)の場合
両辺を2乗すると(a-b)²≡0(mod3)、3ab≡0(mod3)だから
∴a³-b³≡0(mod3)・0(mod3)≡0(mod9)
・(a-b)²+3ab≡0(mod3)の場合
3ab≡0(mod3)を代入すると(a-b)²≡0(mod3)
平方根をとると(a-b)≡0(mod3)
∴a³-b³≡0(mod3)・0(mod3)≡0(mod9)
No.1
- 回答日時:
a≡p、b≡q(mod 3) ⇒ a^3≡p^3、b^3≡q^3(mod 3) になります。
すると、 a^3 - b^3 が3の倍数
⇒ a^3 - b^3 ≡ p^3 - q^3 ≡ 0 (mod 3)
⇒ (p,q)=(0,0)、(1,1)、(2,2)
※ ここは(p,q) の9通りのパターンで「しらみつぶし」をやりましたが、
もっといい計算方法があるかもしれません。(汗)
⇒ a-b ≡ p-q ≡ 0 (mod 3)
すると、(2) の命題がすでに証明されていれば
(3)も成り立ちます。
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