数学難問集より、整数問題 至急

数学難問集より、整数問題

４次方程式の解について、

a,b,c,d は、整数で、d≠0 とする、次の方程式
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 が有理数の解 r をもつとき、r は整数であり、かつ、d の約数に限ることを証明せよ.

何卒、宜しく御願いします。

minamino

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/07/20 10:31

r=n/m (n,mは互いに素,m>0)とします。

x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x-n/m)(x^3+ex^2+fx+g)
と因数分解できます。
これを展開して係数を比較すると
a=e-n/m
b=f-en/m
c=g-fn/m
d=gn/m
となります。
上の式をeについて解きそれを2式目に入れてfについて解き、それを繰り返してgをa,b,c,d,n,mで表します。
n,mが互いに素であることからdが整数になるためにはm=1でなければならないことが示せます。

この回答へのお礼

ご回答有難うございました。

minamino

お礼日時：2017/07/21 09:21

No.1 回答者： asano_nagi 回答日時： 2017/07/20 10:00

r が解になるので、もとの式は、

(x - r)(x^3 + nx^2 + px + q) と因数分解されます。
これを展開して係数比較をします。
具体的には、展開した x^3 の係数をじっくりにらむと、r が整数であることがわかります。
r が整数であることを突き止めたら、定数項をじっくりにらむと、r が d の約数であることが判ります。

この回答へのお礼

ご回答有難うございました。

minamino

お礼日時：2017/07/21 09:21