数学の宿題で常微分方程式を常数変換法で解くようにといわれたのですが、常数変換法とはどのような方法なんでしょうか?
 また、常数変換法を説明しているHPやテキスト等しっていたら教えてください。
 

A 回答 (1件)

定数変化法(のことではないでしょうか?


http://www.ge.kochi-ct.ac.jp/~fujii/bibun/kyouza …
http://www4.justnet.ne.jp/~masema/linear_differe …
定数変換法
http://www.chijinshokan.co.jp/Books/ISBN4-8052-0 …
というのもありましたが、内容はわかりません。

定数変化法であれば、
神部勉著 理工学者が書いた数学の本 偏微分方程式(講談社)
に載っています(といってもURL程度)。
デュアメルの原理とか言うそうです。
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Q連立常微分方程式を4次のルンゲクッタ法で解く方法

次の連立常微分方程式
du_1/dt = f(u_1,u_2)
du_2/dt = g(u_1,u_2)
を4次のルンゲクッタ法で解く方法は次のようでいいのですか?

s_1 = f(u_1(i),u_2(i))
k_1 = g(u_1(i),u_2(i))
s_2 = f(u_1(i)+dt/2*s_1,u_2(i)+dt/2*k_1)
k_2 = g(u_1(i)+dt/2*s_1,u_2(i)+dt/2*k_1)
s_3 = f(u_1(i)+dt/2*s_2,u_2(i)+dt/2*k_2)
k_3 = g(u_1(i)+dt/2*s_2,u_2(i)+dt/2*k_2)
s_4 = f(u_1(i)+dt*s_3,u_2(i)+dt*k_3)
k_4 = g(u_1(i)+dt*s_3,u_2(i)+dt*k_3)
u_1(i+1) = u_1(i) + dt/6*(s_1+2*s_2+2*s_3+s_4)
u_2(i+1) = u_2(i) + dt/6*(k_1+2*k_2+2*k_3+k_4)

次の連立常微分方程式
du_1/dt = f(u_1,u_2)
du_2/dt = g(u_1,u_2)
を4次のルンゲクッタ法で解く方法は次のようでいいのですか?

s_1 = f(u_1(i),u_2(i))
k_1 = g(u_1(i),u_2(i))
s_2 = f(u_1(i)+dt/2*s_1,u_2(i)+dt/2*k_1)
k_2 = g(u_1(i)+dt/2*s_1,u_2(i)+dt/2*k_1)
s_3 = f(u_1(i)+dt/2*s_2,u_2(i)+dt/2*k_2)
k_3 = g(u_1(i)+dt/2*s_2,u_2(i)+dt/2*k_2)
s_4 = f(u_1(i)+dt*s_3,u_2(i)+dt*k_3)
k_4 = g(u_1(i)+dt*s_3,u_2(i)+dt*k_3)
u_1(i+1) = u_1(i) + dt/6*(s_1+2*s_2...続きを読む

Aベストアンサー

それでいいです。変数が増えても同じです。

Q偏微分方程式と常微分方程式

物質濃度をC、時間をt、座標をx、物質の分子拡散係数をνとすると分子拡散による物質濃度の時空間変化は以下の偏微分方程式によって記述される。これについて以下の問いに答えよ。
∂C/∂t=ν((∂^2)C/∂x^2)

(1)C(x,t)=X(x)T(t)と仮定することにより、X(x)およびT(t)に関する常微分方程式をそれぞれ導出せよ。
(2)(1)での2つの常微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。
(3)上記拡散方程式は一般に放物型と言われる偏微分方程式に分類される。これとは別の楕円型と言われる偏微分方程式を1つ、数式で記述せよ。


困っているのは(2)の問題です。

以下のようなwebサイトを見つけました。

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/partial/

これに沿って問題を解いていったとき、一般解をどのようにするべきか迷いが生じました。今回の問題では初期条件や境界条件はないため、一般解はλが正、ゼロ、負のとき全ての場合の一般解を求めなければならないということですか?

後もう1点、もしよければ、楕円型の微分方程式として有名な物理現象、あるいは式を教えていただけないでしょうか?

ヨロシクお願いしますm(_ _)m

特に(2)の問題に関する質問、ヨロシクお願いします。。。

物質濃度をC、時間をt、座標をx、物質の分子拡散係数をνとすると分子拡散による物質濃度の時空間変化は以下の偏微分方程式によって記述される。これについて以下の問いに答えよ。
∂C/∂t=ν((∂^2)C/∂x^2)

(1)C(x,t)=X(x)T(t)と仮定することにより、X(x)およびT(t)に関する常微分方程式をそれぞれ導出せよ。
(2)(1)での2つの常微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。
(3)上記拡散方程式は一般に放物型と言われる偏微分方程式に分類される。これとは別の楕円型と言われる偏微分方程式を1つ、数式で記述せよ...続きを読む

Aベストアンサー

>一般解はλが正、ゼロ、負のとき全ての場合の一般解を求めなければならないということですか?
境界条件が何も与えられてないのであれば、そうですね。
正負は同じ形になるので場合わけしないでもいいですが、少なくともゼロは分けないとだめですね。

楕円型の代表例は、Poisson方程式です。非圧縮性流体の定常流の圧力分布とか、空間電荷が与えられたときの電位とか、いろんなところででてきます。あるいは、斉次なポアソン方程式(ラプラス方程式)の解は調和関数といいますが、正則な複素関数とか。

Q常微分方程式の解の図示

常微分方程式の一般解・特異解の図示の仕方がわからず困っています。
問題は下記のようなものです。

1.次の微分方程式について小問に答えよ。
  y = ky
(1)一般解を求めよ。 → y = Ae^(kx) (Aは任意定数)
(2)k > 0の時、一般解を図示せよ(3つ以上図示せよ)。
(3)k < 0の時、一般解を図示せよ(3つ以上図示せよ)。

2.次の微分方程式について小問に答えよ。
  y = y'x + (1/2)*(y')^2
(1)一般解を求めよ。 → y = Cx + (1/2)C^2 (Cは任意定数)
(2)特異解を求めよ。 → y = -(1/2)x^2
(3)一般解と特異解を図示せよ(一般解は3つ以上図示せよ)。

1.(1)と2.(1)(2)については、上記の通り一応解答できるのですが、図示の問題がわかりません。
ご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

Aが任意定数なので、Aの値をいくつか変えてプロットしろというだけの話です。

例として
1.(1)
k=0.5
A
紫5
青1
赤1/5
としたものが以下の図です。

Q常微分方程式の解

大学院試験の過去問題をやっていましたが、解答がないため質問させていただきます。

関数yは次の常微分方程式

  x+2ayy'-ax(y')^2=0

を満足する。ただしaは0でない定数とする。以下の問いに答えよ。

(1)与式をxで微分せよ
(2)問(1)の結果を用いて、与式よりyを消去せよ
(3)a=2のときの一般解を求めよ
(4)a=-2のときの一般解および特異解を求めよ

以下、間違ってるかもしれませんが、自力で出来たところまで記述

(1)1+2a(y')^2+2ay(y'')-a(y')^2-2ax(y')(y'')=0
   よって
   1+a(y')^2+2ay(y'')-2ax(y')(y'')=0

(2)上の式を2ay=・・・と整理し与式に代入しましたがその後の操作が分かりません

(3)、(4)手付かずです。
(2)が解ければ自力で解ける可能性もあると思っています。

Aベストアンサー

x+2ayy'-ax(y')^2=0
1+2ayy''+ay'^2-2axy'y''=0
y=(axy'^2-x)/(2ay')
y=-(ay'^2-2axy'y''+1)/(2ay'')
(axy'^2-x)/(2ay')+(ay'^2-2axy'y''+1)/(2ay'')=0
通分して分子=0とすると、
[分母は2ay'y'']
(y'-xy'')(ay'^2+1)=0
(y'/x)=2C y'=2Cx
y=Cx^2+D
もとの式に代入して
(4aCD+1)x=0
CD=-1/(4a)
a=2のとき
CD=-1/8
y=Cx^2-1/(8C)
(y'-xy'')(2y'^2+1)=0
a=-2のとき
CD=1/8
y=Cx^2+1/(8C)
特異解 は分母=0から
y'=0は解でない
y''=0のとき
y'=C
y=Cx+D
もとの式に代入して
x+2ayC-axC^2=0
2aCD+(aC^2+1)x=0
D=0 
C=±√(-1/a)
したがって、
a=-2のときは特異解 があって
y=±x/√2

x+2ayy'-ax(y')^2=0
1+2ayy''+ay'^2-2axy'y''=0
y=(axy'^2-x)/(2ay')
y=-(ay'^2-2axy'y''+1)/(2ay'')
(axy'^2-x)/(2ay')+(ay'^2-2axy'y''+1)/(2ay'')=0
通分して分子=0とすると、
[分母は2ay'y'']
(y'-xy'')(ay'^2+1)=0
(y'/x)=2C y'=2Cx
y=Cx^2+D
もとの式に代入して
(4aCD+1)x=0
CD=-1/(4a)
a=2のとき
CD=-1/8
y=Cx^2-1/(8C)
(y'-xy'')(2y'^2+1)=0
a=-2のとき
CD=1/8
y=Cx^2+1/(8C)
特異解 は分母=0から
y'=0は解でない
y''=0のとき
y'=C
y=Cx+D
もとの式に代入して
x+2ayC-axC^2=0
...続きを読む

Q2階常微分方程式―特殊解

微分方程式 y″-2y′=xe^(2x) が、
y=(Ax^2+Bx)e^(2x) A,Bは定数
の形の特殊解をもつことを示せ。

この問題を教えてください。

この後、
A,Bを決めて特殊解を求めよ。(代入して恒等式)
一般解を求めよ。(斉次系の解を求めて、特殊解を足す)
の問題は出来たのですが、 特殊解の形の証明はどのようにやればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

簡単というか、他にやりようがあるとも思えない。
小問の並べかたが変だねえ。
あるいは、質問氏の困惑の方向へミスリード
すること自体が、出題者の目的なのか…?


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