ラグランジェの未定乗数法の問題です

長さ６４ｃｍの針金がある．これをa,b(a>=b>=0)の２本に分け，それぞれで正方形を作る．２つの正方形の面積の和Ｓの最小値および最大値を求めよ．

こ
れをS=(a/4)^2+(b/4)^2 s.t a+b=64 として解くと最小値しか出ないのですが，どなたかお願いします(＞人＜;)

No.2 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/08/03 07:57

回答してからしばらくになりますが、反応がありませんね。

微分して０とおいて最大値、最小値が求まるのは「内点解」がある場合だけです。たとえば、
ｙ＝2x+5
を０≦ｘ≦10の区間で最大値、最小値を求めなさい、という問題があったら、どうしますか？この問題に解はありますが、端点解だけで、最大値はx=10のとき、ｙ＝25で、最小値はx=0のとき、y=5です。

あなたの問題では最小値は内点解ですが（したがって微分して０とおくと求まる）、最大値は端点解なのです！

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/08/03 09:38

>自分の中ではラグランジュの未定乗数法は関数を最大化するためのものだと思ってましたが，極値を求めるということだったみたいですね！！

それはもちろんです。最大と最小は表と裏の関係です。f(x)の最小化というのは-f(x)を最大化することです。ラグランジェ法というのは制約付きの最大(最小）化の方法ですが、とくに制限条件が等式の場合です。しかし、経済問題の多くは本当は制約は不等式です。たとえば、予算制約のもとで効用を最大化するという問題も本当は

max u(x1,x2)
s.t.
p1x1 + p2x2 ≦ I
x1≧０
x2≧０
のように不等式の制約最大化問題なので、厳密にいうとクーン・タッカー条件が必要になります。しかし、通常は内点解が暗黙の裡に仮定されている問題なので、「普通」に解けば正解が求まるように設計されているのです。

しかし、以下のような問題もしばしば試験問題（？）にあらわれます。

max u(x1,x2)= x1 + x2
s.t.
p1x1 + p2x2 = I

つまり、効用関数がリニアであるとき、x1とx2の需要関数を求めよ、という問題です。この簡単そうな問題あなたは解けますか？

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/08/02 08:47

最小値はa=b=32のとき、S=128

最大値はa=0, b=64 あるいはa=64, b=0のとき、S=256

最大値は端点解です。S関数へb=64-aを代入し、aだけの関数としてあらわし、Sを縦軸に、aを横軸にとって描き、0≦a≦64であることに注意すると直ちにわかります。
ラグランジェ法を使うなら、クーン・タッカーの条件が必要ですが、習いました？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます．
自分の中ではラグランジュの未定乗数法は関数を最大化するためのものだと思ってましたが，極値を求めるということだったみたいですね！！
残念ながらクーンタッカーの条件というのは習っていませんが，極値と端点を調べれば最大・最小については十分ということなのでしょうか？

お礼日時：2017/08/03 08:34