高校数学です！ 6^10を5で割ったときの余りを求めよ お願いします！！

高校数学です！

6^10を5で割ったときの余りを求めよ

お願いします！！

No.5 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/07 22:02

6の累乗の1の位は必ず6であるため、6^xを5で割った余は常に1(xは自然数)。

No.4 回答者： think2nd 回答日時： 2017/08/05 00:47

A[n]=6^n　( nは自然数)と置きますn≧2ですとA[n]は2桁以上の自然数になります。

　nを決めると,求まる自然数A[n]を10の位以上と1桁の数で分けましょう。例えばA[4]はA[4]=1296を1290と6に分けられますから、
A[4]=6^4=1290+6とします。
　10の位以上の整数は必ず5で割り切れますから1の位にある数だけ注目すればいいわけです。
n=1のとき(6^1)1桁目は6ですn=2になると6^2で1桁目は相変わらず6です。順次nを1つずつ増やして6を掛けても、1桁目は6です。
　つまりどんな自然数nを決めても6^nの1桁目は6ですから10の位以上は必ず5で割り切れますから、1桁目の6に注目して割り算をすれば余りがわかります。
5で一桁目の6を割れば1余ります。
6^10の一桁目は6ですから5で割れば、あまりは1です。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/02 16:15

二項定理より

(a+b)^n=Σ【k=0…n】nCk a^k b^(nーk)
今、b=1とおくと、更に
(a+1)^n=Σ【k=0…n】nCk a^k
a=5 ,n=10 とおくと
(5+1)^10=Σ【k=0…10】10Ck 5^k
だから、定数項 10C0=1 5^0=1 よって
1・1=1 以外はすべて5の倍数なので、答えは、1である。
尚 パスカルの三角形を参考に！

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/08/02 03:48

6=5+1 より

6^2 =(5+1)^2 =5^2 +2・5 +1
5で割った余りを考えるということは、
式から5の倍数を考えないことだから、
6^2 を5で割った余りは 5^2 と2・5 を取り除いた 1 が答えになる。

これを踏まえて、
6^10
=(5+1)^10
これは、a～iを実数として
=5^10 +a・5^9 +b・5^8 +…+i・5 +1
となるように展開できるはずである。
これを5で割って余りを求めるということは、
5の倍数を取り除くことであるから…

6^10を5で割ったときの余りは 1 だと言えます。

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別解
6を5で割ると余りが1だから
この余り1 に6をかけて5で割り、余りを求めるという操作を繰り返していく。
（5で割っている以上、そちらには何を掛けても5の倍数であることから、
　5の倍数ではない余りにだけ注目して計算する方法ともいえる）
6^2：余り１
6^3：余り１
…
6^10：余り１

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なお、すでにmodを学んでいる場合には
No.1のやり方のほうがスマートです。

No.1 回答者： anshinyuusou 回答日時： 2017/08/02 00:46

6≡1(mod 5)より、両辺を10乗したら、6^10≡1(mod 5)となるので、余りは1。