kを0と異なる実数を定数とし、iを虚数単位とする。 等式x^2+(3+2i)x+k(2+i)^2=0

kを0と異なる実数を定数とし、iを虚数単位とする。
等式x^2+(3+2i)x+k(2+i)^2=0を満たす実数xが1つ存在するとし、それをaとおくとき、次の問に答えよ。
(1)kとaの値をもとめよ。
(2)この等式を満たす複素数xを全て求めよ。

この問題の(1)
k＝3/4 、a＝-3/2はわかったのですが
ネットで解答を見ていると(2)はKを代入してから
平方完成しているのですがなぜ平方完成するのかがわかりません
解説お願いしますm(__)m

No.3 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/08/04 02:28

(1)

x^2+(3+2i)x+k(2+i)^2 =0
の解の一つは実数aなので、
a^2+(3+2i)a+k(2+i)^2 =0
a^2 +3a +k(4-1) +i(2a+4k)=0
a^2 +3a +3k +i(2a+4k)=0
より、
a^2 +3a +3k=0 かつ 2a+4k=0
a=-2k となるので、これを代入すると
4k^2 -6k +3k=4k^2 -3k=k(4k-3)=0
k≠0 であるから、4k-3=0
よって、k=3/4
a=-2k=-2×3/4=-3/2

(2)
(1)より、k=3/4 であるから方程式は
x^2+(3+2i)x+(3/4)(2+i)^2 =0
二次式なので、解は二つ。
片方は a=-3/2 なので、もう片方の複素数解を α+iβ とおくと
(x+3/2)(x-α-iβ)=0
これを展開して
x^2 +(3/2 -α-iβ)x +(3/2)(-α-iβ)=0
係数比較をして
　3+2i =3/2 -α-iβ
　(3/4)(2+i)^2 =(3/2)(-α-iβ)
ここから、
α=-3/2 、β=-2
となるから、複素数解 x=-3/2 -2i が求まる。

----------
＜平方完成を用いたやり方の場合＞
x^2+(3+2i)x+(3/4)(2+i)^2
=x^2+(3+2i)x+(3/4)(3+4i)
={x +(3+2i)/2}^2 -{(3+2i)/2}^2+(3/4)(3+4i)
={x +(3+2i)/2}^2 +(1/4){-(3+2i)^2 +3(3+4i)}
={x +(3+2i)/2}^2 +(1/4)(-5-12i +9+12i)
={x +(3+2i)/2}^2 +(1/4)(4)
={x +(3+2i)/2}^2 +1
={x +(3+2i)/2}^2 -i^2
={x +(3+2i)/2 -i}{x +(3+2i)/2 +i}
={x +3/2}{x +(3+4i)/2}
=0
したがって、
x=-3/2 と x=-(3+4i)/2=-3/2 -2i
の二つが方程式の解となる。


理解できる方のやり方でよいと思います。
平方完成を用いる場合、1=-i^2 であることを理解していないと
途中で計算ができなくなるので注意しましょう。

この回答へのお礼

返信遅くなりすみません
丁寧に解説ありがとございます！
個人的に係数比較法を用いてやる方が
理解しやすかったです
これを参考に似たような問題で
解けるようにがんばります( ´∀｀)

お礼日時：2017/08/04 17:17

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/08/04 01:07

平方完成しているとかいうその「解答」がどうなっているのか知らないんだけど, わざわざ平方完成する意味など全くないね. 2次方程式の

1つの解がわかっているんだから, もう 1つの解は簡単にわかる.

No.1 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/08/03 22:55

平方完成すると、

｛x+(3+2i)/2｝＾2=5/4
となり、iが存在するのは２乗のカッコのだけになるので、
x+(3+2i)/2=±√5/2
として、
x=(3±√5+2i)/2となります。
逆にそれ以外の方法は難しいかもしれません。