No.4ベストアンサー
- 回答日時:
どうも、先の回答は、「有名・著名な原理や法則といえども証明できるものではない」という狭い意味にとらえられてしまうかもしれませんが、文意は「有名・著名なものからごく身近なものまで、すべて原理・法則というものは証明の対象ではない」というものです。
実際、エネルギと質量の交換が行われる局面ではエネルギ保存則、質量保存の法則はそれぞれ単独では成り立たず双方を考慮した修正が行われます。
万有引力の法則も、引力が大きくなると修正(誤差を許容できなくなる)が必要です。
3時間前に時速4kmで出発した弟を、お兄さんが時速16kmの自転車で追いかけるときの追いつく時刻についても、単純な引き算・割り算「ex4×3÷(16-4)」だけでなく、観測者がだれなのかといった視点も含め一般相対論による修正が厳密には必要でしょう。
付言するならば、「算数」という教科は、この世の「自然に受け入れられている身の回りの法則・原理について学ぶ(つべこべ言わずに覚える)教科」であり、「数学」はこの世の法則にとどまらず、厳密な意味での「数の体系」についても学ぶ(厳密性を追求し、証明を求める)教科です。
No.9
- 回答日時:
まず人間は現実世界を数という概念を実体からの要請から作り出す。
(抽象する)↓
頭の中だけで、理論を作り定義から定理を積み重ねる。これは真理として証明可能。
↓
実体から作り出したのだから、その数学と(経験的に)同じ型をもつ長さなどの実体の概念を道具として、数学を視覚化できる。
というのは、私の理解と一致しています。
--
No.8
- 回答日時:
あぁ、なんとなく「疑問の本質」がわかったような気がします。
あなたは1mのヒモや、30gの鉄はみたことがあるでしょうが、自然数の1や、原点(0,0)や、足し算を見たことはないでしょう。
それらは、数学という空想世界のアイテムであって、人々の頭の中にだけあって、それをできるだけイメージしやすいように図や模型に表現したものを見たことがあるだけなんです。
もちろん、それらのアイテムは現実世界をモデルとして考案されたものだから、実生活によくマッピングできるものです。表裏一体と言っても過言ではありません。
しかし、あなたの元の質問は「なぜ1m+1m=2mなのですか」です。
「実生活におけるなにか具体的な事象」について証明可能かどうかを質問していると理解しました。
したがって、実生活空間における具体的なものは証明の対象ではない、そこから抽象化された数学(空想世界)でのみ定義にしたがった証明という行為があるという回答をしています。
ーー
・2点ABにおいて、線分AB上に点Cがあるとき、AB間の距離はACの距離とCBの距離の和になる
・ベクトル(2,0)の大きさは2であり、単位ベクトル(1,0)の2倍である。
↑これらは、証明可能な定理です。
・1mの鉄棒と1mの鉄棒を溶接したとき全体の長さは2mになる
・左のカゴにはリンゴが2個、右のカゴにはリンゴが3個。合わせてリンゴは5個
↑これらは証明の対象ではありません。
つまり
まず人間は現実世界を数という概念を実体からの要請から作り出す。(抽象する)
↓
頭の中だけで、理論を作り定義から定理を積み重ねる。これは真理として証明可能。
↓
実体から作り出したのだから、その数学と(経験的に)同じ型をもつ長さなどの実体の概念を道具として、数学を視覚化できる。
それが座標やベクトルや幾何学という理解の仕方で良いでしょうか?
No.7
- 回答日時:
1000gの水と、100gの砂糖をまぜると何グラムになりますか?
という質問に、「足し算を使えば答えがでる!」というのは、「ものをまぜたときの重さは足し算すれば出る」っていう法則を知っているから計算できるのです。
1リットルの水と、100mlの砂糖w混ぜるとなんmlになりますか?
という質問に、「足し算を使っても答えがでない!」「どう計算すればいいか知らない!」というのは「体積・容積を合わせたときの一律に有効な法則を知らない」からです。
法則や原理は、「知っているか(覚えているか)どうか」であって、証明する対象ではないのです。
No.6
- 回答日時:
>座標系やベクトルを使った概念というのは長さの概念が含まれるので数学ではなく科学であるというわけですか
いいえ。
原点(0,0)から、点(4,3)までの距離が5であることは、「距離」を定義してやれば(距離の定義はいろいろありますがね)数学の対象です。
2点AB間の距離が、AC間の距離とCB間の距離の和より大きくならないことは、距離の定義に従って証明できる定理です。
(1,0)を単位ベクトルとすると、(2,0)という座標はきっかりその2倍の長さでないと、例えばy=axというのは直線とはならないと思います。
つまりここで計量という概念、長さの足し算という概念が入ってきていると思うのですが、ここら辺の扱い方は科学というか公理として扱うのですかね。
そうなると幾何学も科学なような気がしてきます…。
No.5
- 回答日時:
mが実数であるとして、その実数という集合の特性として、、、
m=1・m=m・1 という性質の1というものがある。 (これは、1の定義です)
1+1=2である。 (これは2の定義です)
a,bも実数である場合am+bm=(a+b)m である。 (これは定理です)
これらのことより、、
m+m=1・m+1・m (mを1・mに置き換えました)
=(1+1)m (三番目の定理を使いました)
=2・m (2の定義です)
=2m (書き方を変えただけです)
という論理になります。
なので、定義と定理を使うとそうなるという話です。
No.2
- 回答日時:
数学の世界での1+1=2は、
自然数(あるいはそれを拡張した有理数、実数他)というものの性質、足し算の性質というものを定義してその定義から証明される定理です。
一方、物理や現実世界での1m+1m=2mは、
長年の観測事実からおそらく正しいだろうと認められている、原理あるいは法則です。
質量保存の法則、万有引力の法則、エネルギー保存の法則、アルキメデスの原理など、
いずれも、数式を用いて表示されていますが、その数式(公式?)は、証明できるものではなく、
「長年の観測事実から、おそらく正しいだろう」とされているに過ぎません。
1mのヒモと1mのヒモをつないだときの長さ、3個のリンゴと2個のリンゴを合わせたときの個数など、いずれも「足し算を使うと答えがでる」ってのは「長年の観測からおそらく正しいとされている法則」です。
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