正方形の面積

高3なのですが黒い部分の面積の求め方がわかりません。
三平方の定理を使わなくても求められるらしいですがどうやればいいのでしょうか？

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/20 19:15

正方形の各辺が斜辺になっている直角三角形が4個見えたら

直ぐに計算できます。

辺の長さの比は1:2:√5、後は簡単ですよね。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/16 20:22

△AA'k 相似 △AB(2k) ,ただし、∠BAB' が共通なので、kは、それぞれの高さとおける

ので、
a : a+b =(1/2)k/2 : 1・2k/2 =1 : 4
∴ a : 2a+b =1 : 4+1=1 : 5
今 △BAB' =a+b+a=2a+b なので、
また、その面積は、(1/2)AB・BB'=(1/2)・1・(1/2)=1/4 なので、
a+b=(1/4)・(a+b / 2a+b)=(1/4)(4/5)=1/5
よって、
求める面積は、1・1ー4(1/5)=1/5

No.6 回答者： oo14 回答日時： 2017/08/11 17:02

＃５さんの記号を借りると

FC=2DEなので
一気に
1-1/2-1/2×3/5＝1/5

No.5 回答者： springside 回答日時： 2017/08/11 16:33

図のようにA,B,C,D,E,Fを定め、△ADEの面積をa、台形DECFの面積をbとおく。

△ADEと△AFCは相似で、相似比は1:2だから、面積比は1:4。
∴a:(a+b)=1:4
∴b=3a

次に、△ADE≡△CFBなので、△CFBの面積はaである。
すると、△ABCの面積は、△ABC+台形DECF+△CFB = a+b+a = a+3a+a = 5aとなる。
ここで、△ABCの面積は、(1/2)×1×(1/2)=1/4なので、5a=1/4　∴a=1/20　∴b=3/20

よって、求めたい面積は、正方形の面積-4a-4b = 1×1 - 4/20 - 4×3/20 = 1/5…答

No.4 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/08/11 16:26

あと、図形を切り貼りすると、

黒い正方形が真ん中で
その四辺に同じ面積の正方形が４つくっついた
十字形の図形ができます。
これを作れば、明らかに
1/5と分かります。

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2017/08/11 16:20

(´・ω・`)

No.2 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/08/11 16:20

少し分かりにくいかもしれませんが、

まず、真ん中の黒い部分を含む平行四辺形と
黒い部分を含まない二つの直角三角形に
分けると
直角三角形と平行四辺形の高さが等しくなるので、
その平行四辺形はこの正方形の面積の半分だと分かります。
その後、平行四辺形の黒い部分を除いたら出来る
台形を二つを合わせてできる
長方形が黒い部分の正方形の面積の
3/2倍だと分かるので、
正方形の面積は、
1×1×1/2×2/5=1/5ですかね。
間違えていたらすいません。
あと、各点にアルファベットを付けていただけると
説明しやすいです。

No.1 回答者： サワイ 回答日時： 2017/08/11 16:16

正方形の折り紙を折って考えると

相似な正三角形の面積比がすぐに
目につきます。

図示できないのがもどかしいです
が、相似比と合同な図形から、
考えていくと、黒い部分は全体
の6/22=3/11になりますね。