数学の「無定義」での理論の展開

Question

前にここで、数学で「無定義用語」だけではなく「関係を表すもの(言葉)」も無定義らしいのだが、
果たしてそれで理論を展開できるのか？＝や∀や⊃に意味があるからこそ話を進められるのではないのか？
と質問をしたところ
「関係を表すもの(言葉)」も無定義だし、それで話を進めることはできる。
といった回答を頂きました。

ただ、「関係を表すもの(言葉)」も無定義で、具体的にどうやって話を進めるのかイマイチわかりません。「関係を表すもの(言葉)」も無定義でないとマズイのはわかるのですが、どれもこれもが無定義の状態で果たしてどのように話を進めていけばいいのかよくわからないのです。
回答の一つに
空集合の公理∃x ∀y ¬(y∈x)は∃とか∀とかいう記号を、このような順番に並べてもよい、と言っているだけ
とあったのですが、ならば本当にそれだけで、議論を進めることなどできないのではないでしょうか？

「関係を表すもの(言葉)」も無定義で、理論(話？)を展開する具体的な例を教えてください。
回答お願いします。

lupan344 · Accepted Answer

補足ありがとうございます。
まず、公理は真・偽は問われません。
したがって、そこに書いてあることは、全て無定義です。（無定義とは、真実とも嘘とも判断出来ないと言う事です）
ですから、変な言い方ですが、「その定義は何ですか？」と聞かれたら、無定義ですと答える事になります。
ただし、約束として、そこに書かれている事は、全て守る必要があると言う事です。
無定義ですから、意味を聞かれても、そこに書かれているとおりですと答える事になります。
意味は無いんですから、そこに書かれている事をそのまま実行する事しか許されないと言う事です。
ここには、解釈が入る余地が無いって事なんですよ。
たとえば、「成立」の定義と言っても、数学で定義する事は無いです。
ですから、これは日常語なので、自由に解釈して良いわけです。（ただし、日常語の範囲を超えてはいけません）
あなたが考えるとおり、もしくは辞書に書いてあるとおりですと答える事になると思います。
数学的に決めなければいけない関係性は公理に書いてあります。
むしろ、意味を問われない、関係性の表現を公理にすると思います。
「存在する」などは、哲学的に考えたら、定義自体が無くなってしまうでしょう。
ですから、日常語の範囲で考えるしかありません。
意味としては、「在る」が単純でしょう。（これも、哲学的に定義するのは、難しいです）
ただし、数学的な対象に関しては、「～と呼ぶ」などと表記して、無定義語である事を明示しています。
目的としては、数学的な対象の関係性を厳密にする為に、言語としての冗長性を排除する事を最小にする為に無定義としていると言う事です。
ただ、これも私の一面的な解釈ですから、ヒルベルトの「幾何学の基礎」を一読する事をお勧めします。
なお、英訳されたものは、Web上でも閲覧可能ですから、それを見てみれば、何が公理で、何が定義されているか、公理の表現がどうなっているかがわかると思います。

lupan344 · Answer

「定義」とは、何かを確立する事であり、「意味」は、単語の示すものの定義です。
単語においては、定義＝意味は、一致します。
関係性を定義する場合は、「ある関係」を「ある単語」で呼ぶと言う命名規則を与えるだけです。
ニュアンスが難しいですが、「単語」の意味は、ある程度の冗長性を持ちます。
定義によって、関係性をある単語で呼んだ場合は、ある単語の意味が関係性と言う事では無く、呼び方を変えても良い事になると言う事だと思います。
この場合の定義は、単語の意味が示すのでは無く、定義によって、単語がある関係性を示すと言う関係にあり、単語の意味を解釈する余地が無いと言う事だと思います。

lupan344 · Answer

補足ありがとうございます。
「任意の」と言う表現は、慣用的に使ってしまいましたが、ヒルベルトの幾何学基礎論の場合は、「文字で表す」と表記して、A、B、C、...などの表記にしています。（回答の例は、独自のものなので、表現のしかたです）
置き換えに関しては、簡略化してしまいましが、それぞれの記号できちんと置き換えたものを例示しています。
「であれば」は、in the caseなどですが、これは慣用語をそのまま使用しています。
or、andなどの接続詞も慣用語のままです。
「成立する」は、alwaysなどですが、こちらも慣用語です。
これらの日常語は、定義も何も無く、そのまま使用されています。（これは、日常語の意味の範囲で、自由に受け止めて良いと言う事でしょう）
なお、上記は、英語に翻訳されたものなので、ドイツ語でどう書かれていたかまではわかりません。
なお、英文では、「定義」に関しては、establishなどですが、こちらも、その関係性に対して、記載されています。
なお、日本語訳の場合は、そのまま「定義」と書かれています。
また、用語に関しては、meansでつないで、それに対応する文章などが記載されています。
また、公理などでのある状態は、callを使って、呼ぶと表現しています。
日常語で、よほど変わった解釈をされないような単語は、そのまま定義もされずに使用されています。
ただし、特殊な状況の場合は、例示して””で囲んで、表現をいくつか例示しています。
一読してもらうと、イメージが湧くと思いますが、これだけを読んでも、どれが無定義語なのかは、すぐにはわかりませんが、callなどの表現を見ると、それが定義では無い事がわかります。
さすがに、全ての言葉を定義していたら、文章が書けませんから、慣用的に問題の無い単語は、定義無しにそのまま使われています。（むしろ、全ての言葉を定義する位ならば、問題の無い表現を書いた辞書を添付するでしょう）
なお、「意味」と「定義」は、きっちりと区別されていますから、「定義」がそのまま「意味」を表すわけでは無いです。
むしろ、日本語の「定義」と言う訳が、意味が多すぎるのかもしれません。
establishは、確立すると言う意味で使用されていて、目的語を書かないと意味をなしません。
establishー○○、は○○を確立すると言う事で、それが意味を与えると言う事ではありません。
ここら辺、ヴィトゲンシュタインの「哲学探究」などの、「言語ゲーム」などを参照してもらえば、実は、言語自体も完全な定義されたものではなく、会話者相互が単語に対して、共通の認識を持っていると思っている、単なる「言語ゲーム」である事がわかります。
ヒルベルトの場合は、なるべく曖昧さを排除した、基礎的な単語のみを日常語として使用して、それ以外は、公理系でその関係性を表示して、数学をその公理の中で完成させようという試みを行ったと言う事でしょう。
それが、現在の数学の公理系の基礎となっています。（いわゆる、ヒルベルトプログラムの一環です）

lupan344 · Answer

補足すると、数学の証明は最終的にトートロジーにならなければいけませんが、そこで証明された、新しい関係が、定理として生み出されます。
これは、公理から発見されたと考えても良いし、何らかの操作によって、発明されたと考えても良いでしょう。

白紙の領収書 · Answer

「意味」はないですが「ルール」はあります。将棋もオセロも駒の意味なんてないけど動かし方のルールがあるからプレイできます。数学はルールに沿って意味のない文字を並べ替えるゲームです。

lupan344 · Answer

念の為、前回の回答の記号を、＝→☆、＜→▽、＞→△、≠→×に置き換えてみます。
公理
１．任意の文字で以下の関係が成立する。
２．a☆bであれば、b☆a、またaをｂ、bをaで置き換えられる
３．a△bであれば、a×b
４．a▽bであれば、a×b
公理終わり
問題
a▽e、e☆bの時、a▽bは成立するか、証明せよ。
証明
公理より、e☆bならば、eとbは置き換えられる。したがって、a▽eは、a▽bとなる。
証明終わり
a▽e、e☆bの時、a×bが成立するか、証明せよ。
公理より、e☆bならば、eとbは置き換えられる。したがって、a▽eは、a▽bとなる。
a▽bならば、a×b
証明終わり

lupan344 · Answer

補足ありがとうございます。
まず、公理止まりと言うのは、公理系では正しいです。
公理系から導き出せる、定理はすべて、公理に戻す事が出来ます。（これをトートロジーと呼びます）
トートロジーからは、公理以外の結論は生まれません。
一般的な議論は、何か新しいものを生み出そうとするので、それはトートロジーだと批判される場合もありますが、数学の公理系では、トートロジーで無いと、証明になりません。
もし、トートロジーで無い結論が生み出されたら、公理系が矛盾している事になります。
補足の例でいえば、以下のような公理が考えられます。
公理
１．任意の文字で以下の関係が成立する。
２．a=bであれば、b＝a、またaをｂ、bをaで置き換えられる
３．a＞bであれば、a≠b
４．a＜bであれば、a≠b
公理終わり
問題
a＜e、e＝bの時、a＜bは成立するか、証明せよ。
証明
公理より、e＝bならば、eとbは置き換えられる。したがって、a＜eは、a＜bとなる。
証明終わり
a＜e、e＝bの時、a≠bが成立するか、証明せよ。
公理より、e＝bならば、eとbは置き換えられる。したがって、a＜eは、a＜bとなる。
a＜bならば、a≠b
証明終わり
上記では、記号には公理以外の関係性は無く、その記号には、言語的な意味もありません。

horahukisann2017 · Answer

リンゴの話で、表面のいろ、中身のいろは、光の波長で数値化できる。リンゴの香りは化学物質で同定できる。これらはすでに数学として表せるでしょうか。

リンゴの味わいも化学物質で数値化できるでしょうか。甘さは糖度で表しますか。

リンゴの歯ごたえは？リンゴの歯ごたえをソクソクとします。なぜソクソクなのかですか？梨をシャリシャリにしたいからです。ソクソクもシャリシャリもいまのところ勝手に決めています。リンゴの歯ざわりと梨の歯ざわりがちょっと違うことを提示したいからです。のちのち誰にでも納得のいく表現の仕方が見つかるのなら、変えていって良いと思いませんか？
そして、僕が感じるところはソクソクとシャリシャリの違いは、リンゴと梨の組織の違いと水分量の違いとしてうまく表現したいのです。ソクソクのほうがシャリシャリよりも、少し柔らかい感じがします。音の周波数のピークで数値化(その物質のキャラクターの設定)できないでしょうか。

これで、どんな数学が出来上がっていくかわかりませんが、なにか測定しうるものを獲得すれば、次第に精密な判定をできるようになりませんか？

lupan344 · Answer

補足ありがとうございます。
そういう事であれば、全ての記号は無定義ですよ。
＋、－、×、・などは、その関係性を表さないと意味を持ちません。
たとえば、１＋１＝２としても、それがどんな意味を持つかは無定義ですよね？
同時に、１＋１＝３となる公理系も作れます。
１・１＝１、１＋１＝１、１×１＝１、１－１＝１が全て成り立つ公理系も作れますが、ここでは、＋、－、x、・などには、いくらでも関係性を持たせられます。
１＋１＝２の＋を加算と考えるか、単なる１＋１＝２を成り立たせる記号が＋と考えるかです。
たとえば、A×B≠B×Aと言う関係でも、×は使われます。
これは、ベクトル積の場合に使われるわけですが、×の記号は一般的な数式の×とは関係性が違いますよね？
それでも、誰も不思議には思いません。
ヒルベルトは、定義を日常語で行っても、定義を完全に行い得ないし、逆に定義に引きずられて、数学の公理系の意味が曖昧になる事を嫌ったと言う事でしょう。
定義とは、どういう事だと解釈されていますか？

lupan344 · Answer

ヒルベルト流では、ユークリッド幾何学の、点、直線、平面、平行は無定義で、アプリオリに認識されていると考えられています。
これらは、公理・公準で、その関係性が語られていますが、公理・公準もアプリオリに成り立つと仮定しているので、同様に無定義です。
これらの、無定義の事柄から、ユークリッド幾何学は、定理を生み出せます。
無定義とは、それを証明する方法が無い事を意味していて、その関係性が理解できないと言う事では無いのではないでしょうか？
ヒルベルト的に言うと、点、直線、平面、平行は、猫、人間、仮面ライダー、ビール、などに置き換えても、ユークリッド幾何学は成り立つと言う事になるんでしょうけどね。（あくまで無定義ですから、上記の例は単なる記号として捉える必要があり、そこに意味を見出してはいけません）
興味がおありでしたら、ヴィトゲンシュタインの哲学探究の言語ゲームなども見てみるといいかもしれません。

数学の「無定義」での理論の展開

補足ありがとうございます。

「定義」とは、何かを確立する事であり、「意味」は、単語の示すものの定義です。

補足ありがとうございます。

補足すると、数学の証明は最終的にトートロジーにならなければいけませんが、そこで証明された、新しい関係が、定理として生み出されます。

「意味」はないですが「ルール」はあります。

念の為、前回の回答の記号を、＝→☆、＜→▽、＞→△、≠→×に置き換えてみます。

補足ありがとうございます。

リンゴの話で、表面のいろ、中身のいろは、光の波長で数値化できる。

補足ありがとうございます。

ヒルベルト流では、ユークリッド幾何学の、点、直線、平面、平行は無定義で、アプリオリに認識されていると考えられています。

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