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0≦θ<2πのとき、

(sinθ+1/2)(sinθ-1/2)>0

また、

(sinθ-1/√2)(cosθ-1/2)<0 を解け。

回答解説よかったらよろしくお願いします。

A 回答 (1件)

0≦θ<2π とする。



(sinθ +1/2)(sinθ -1/2) >0

これを満たすための条件は
sinθ +1/2 >0 かつ sinθ -1/2 >0  …①
または
sinθ +1/2 <0 かつ sinθ -1/2 <0  …②

①より
sinθ >-1/2 かつ sinθ >1/2
なので、sinθ >1/2 だけ考えればよい
よって、π/6<θ<5π/6 で条件を満たす。
②より
sinθ <-1/2 かつ sinθ <1/2
こちらも sinθ <-1/2 だけ考えればよいから、
7π/6<θ<11π/6 で条件を満たす。

したがって、
(sinθ +1/2)(sinθ -1/2) >0 を満たすθの範囲は
π/6<θ<5π/6, 7π/6<θ<11π/6
となる。

----------
別解
(sinθ +1/2)(sinθ -1/2) =(sinθ)^2 -(1/2)^2 >0 より
(sinθ)^2 >(1/2)^2
|sinθ| > 1/2
これを満たすθの範囲は
π/6<θ<5π/6, 7π/6<θ<11π/6
だとわかる。
----------


(sinθ -1/√2)(cosθ -1/2) <0

これを満たす条件は
sinθ -1/√2 >0 かつ cosθ -1/2 <0  …③
または
sinθ -1/√2 <0 かつ cosθ -1/2 >0  …④

③より
sinθ >1/√2 かつ cosθ <1/2
ここから、π/4<θ<3π/4 かつ π/3<θ<5π/3
まとめて、π/3<θ<3π/4
④より
sinθ <1/√2 かつ cosθ >1/2
0≦θ<π/4, 3π/4<θ<2π かつ 0≦θ<π/3,5π/3<θ<2π
まとめて、0≦θ<π/4, 5π/3<θ<2π

したがって、
(sinθ -1/√2)(cosθ -1/2) <0 を満たすθの範囲は
0≦θ<π/4, π/3<θ<3π/4, 5π/3<θ<2π
となる。



文章だけではわかりにくいと思うので、
円を描いて条件を満たすような角度を確認しながら
問題を解いたほうが良いでしょう。
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この回答へのお礼

わかりました!ありがとうございます

お礼日時:2017/08/27 19:45

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