今、角αが[0, π]で一様分布に従うとします。この時にX=sqrt(2(1-cosα))の確率分布を求めたいです。
これに対する解法は以下のものが正解のようです
。
Xの累積分布を関数をF(X)とすると
F(X)
=P(X≦x)
=P(sqrt(2(1-cosα))≦x)
=P(2(1-cosα)≦x^2)
=P((1-cosα)/2≦(x^2)/4)
ここでαが[0, π]の一様分布なのでcosαは[-1, 1]に一様に分布するため(1-cosα)/2は区間[0, 1]に一様に分布する。
従ってF(X)=(x^2)/4となるので
f(X)=dF(X)/dx=x/2
これに対して自分は以下のような別解を考えました。
X
=sqrt(2(1-cosα))
=sqrt(4(1-cosα)/2)
=2sqrt((sin(α/2))^2)
=2sin(α/2)
ここでαが[0, π]の一様分布なのでα/2は[0, π/2]に一様分布する。従ってsin(α/2)は[0, 1]に一様に分布するため2sin(α/2)は区間[0, 2]に一様に分布する。
よってf(x)=1/2
自分の考えた解法のどこが違っていたのか指摘していただきたいです。何卒よろしくお願いします。
A 回答 (5件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.5
- 回答日時:
これは、大学入試の問題ですか?
だとすると、なかなかの難問ですね。
話としては、#4の方の説明されている通りなんですが、
球帯(球を平行な2平面で切断したもの)の表面積は、その高さに比例する。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/area/sphe …
という定理があります。
これは、いわゆる「理系の常識」の一つとして知っているとよいと思います。
No.4
- 回答日時:
うぅ~ん.... ダメだね. その「模範解答」は「点B は点A を中心とした半径 1 の円周上に一様に分布する」のところが間違ってる.
正しくやるなら A を中心とする半径 1 の球面を考えて, その球面のうち「x座標が 1+S 以下である部分」の面積と球面全体の面積 (つまり球の表面積である 4π) との比 (これが S の確率分布になる) を計算しないといけない. で球面のうち x座標が 1+S 以下である部分の面積はがんばって計算すればよく, 2π(1+S) であるとわかる. 従って S は [-1, 1] に一様に分布する.
No.3
- 回答日時:
「確率分布を求めたい」というのが「分布関数を求める」のか「密度関数を求める」のかわからないんですが, 分布関数がわかれば密度関数は微分するだけなので分布関数でいく.
X の分布関数を F(x) = Pr{X ≦ x} とおくと, X = √(2(1 - cos α)) = 2 sin(α/2) だから
F(x) = Pr{X ≦ x} = Pr{ 2 sin(α/2) ≦ x}
= Pr{α ≦ 2arcsin(x/2)}
となる. で α が [0, π] の一様分布なので結局
F(x) = (2/π) arcsin(x/2) (0 ≦ x ≦ 2), 0 (x < 0), 1 (x > 2)
となる, と.
いちおう「以下のものが正解のようです」にも突っ込んでおくんだけど, これはつまるところあなたのやった間違いと全く同じなんです. つまり
αが[0, π]の一様分布なのでcosαは[-1, 1]に一様に分布する
の部分がおかしいです.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
- 数学 次の関数を微分せよ y=sin^4 x cos^4 x という問題で自分は積の微分法で微分して y' 3 2023/05/17 20:38
- 数学 高校生です。 この問題が解説がないため合ってるか分かりません。 この回答であってますか? 回答 g( 3 2023/01/24 14:05
- 数学 高校生です。 この問題の解説がなくてこの解き方で合っているでしょうか? g(x,y)=0のとき x^ 2 2023/01/25 17:28
- 統計学 確率変数XとYは独立で一様分布U(0,1)に従うとき、(1)E(X+1)、(2)E((X+Y)^2) 2 2022/07/30 09:39
- 統計学 Xが[0,1]を台に持つ連続一様分布に従う確率変数とするとき、Y=X^2/3が従う確率分布の確率密度 4 2022/11/15 13:36
- 数学 X_1,…X,nを独立で同じ確率分布に従う確率変数列とする。 Xmin=min{X_1,…,Xn}, 5 2023/01/13 22:00
- 数学 以下の議論はどこがおかしいのでしょうか? また、それをどう直せばよいのでしょうか? 教えて下さい。よ 6 2022/05/04 15:42
- 統計学 確率変数XとYは独立で一様分布U(0,1)に従うとき、E(X+3)、E((X+Y)^2)、XとYの同 2 2022/07/29 00:25
- 物理学 分布定数回路の問題について 1 2022/06/12 11:36
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^iθの大きさ
-
高1 数学 sin cos tan の場所っ...
-
数学 2次曲線(楕円)の傾きの計...
-
tanθ=2分の1のときの sinθとcos...
-
三角形の二辺と面積から、残り...
-
sin75°×sin15°の値を求めなさい...
-
0°≦θ≦180°のとき、次の方程式、...
-
インボリュート曲線の式
-
画像のように、マイナスをsinの...
-
次の三角比を45°以下の角の三角...
-
図形と計量
-
単位円上に3点A,B,Cがあったと...
-
急いでます! θが鈍角で、sinθ...
-
ユニタリ行列と対角化について
-
cos(90°-θ)=sinθ こういっ...
-
三角関数の性質ってところで☆
-
sin2xの微分について
-
高調波をわかりやすく例えると何?
-
【数II/三角関数】 Q.次の値を...
-
数学 三角比 sin80°もsin110°も...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
高1 数学 sin cos tan の場所っ...
-
{f(θ)}''= -νf(θ) という微分方...
-
微分演算子について。 この求め...
-
次の三角比を45°以下の角の三角...
-
e^iθの大きさ
-
楕円の単位法線ベクトルがわか...
-
画像のように、マイナスをsinの...
-
tanθ=2分の1のときの sinθとcos...
-
3辺の比率が3:4:5である直...
-
教えてください!!
-
急いでます! θが鈍角で、sinθ...
-
三角形の二辺と面積から、残り...
-
三角比のサイン・コサインの変換
-
答えがマイナスになる理由が分...
-
二つの円の重なっている部分の面積
-
0°≦θ≦180°のとき、次の方程式、...
-
数学 2次曲線(楕円)の傾きの計...
-
sinθ<tanθ
-
数学Iの三角比
-
θが鈍角のとき、sinθ=4分の3の...
おすすめ情報
自分で確認しましたところおっしゃる通りでした。
実はこの質問は以下の問題の2番の問題を簡易化したものです。
以下の1番の問題ではSが一様分布に従うことを角OABが[0, π]が一様分布に従うことから導いている、という解答があります。ですので、自分は角OABが[0, π]の一様分布に従う前提で話を進めておりました。
ですが、ご指摘の通り、Sが一様分布と角OAB一様分布であるとことは同値でないことがわかりました。つまり、1番の問題の解答が間違えていたと思います。
お手数ですが、下記の1番の問題において, どのように「Sが区間[-1, 1]に一様に分布すること」が示せるかご意見を頂戴したいです。
度重ねてのご質問大変恐縮ですが、何卒よろしくお願いします。
以下のものが自分が模範解答として参照したものです。参考までに、よろしくお願いします。