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今、角αが[0, π]で一様分布に従うとします。この時にX=sqrt(2(1-cosα))の確率分布を求めたいです。

これに対する解法は以下のものが正解のようです


Xの累積分布を関数をF(X)とすると
F(X)
=P(X≦x)
=P(sqrt(2(1-cosα))≦x)
=P(2(1-cosα)≦x^2)
=P((1-cosα)/2≦(x^2)/4)
ここでαが[0, π]の一様分布なのでcosαは[-1, 1]に一様に分布するため(1-cosα)/2は区間[0, 1]に一様に分布する。
従ってF(X)=(x^2)/4となるので
f(X)=dF(X)/dx=x/2


これに対して自分は以下のような別解を考えました。
X
=sqrt(2(1-cosα))
=sqrt(4(1-cosα)/2)
=2sqrt((sin(α/2))^2)
=2sin(α/2)
ここでαが[0, π]の一様分布なのでα/2は[0, π/2]に一様分布する。従ってsin(α/2)は[0, 1]に一様に分布するため2sin(α/2)は区間[0, 2]に一様に分布する。
よってf(x)=1/2

自分の考えた解法のどこが違っていたのか指摘していただきたいです。何卒よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • 自分で確認しましたところおっしゃる通りでした。

    実はこの質問は以下の問題の2番の問題を簡易化したものです。

    以下の1番の問題ではSが一様分布に従うことを角OABが[0, π]が一様分布に従うことから導いている、という解答があります。ですので、自分は角OABが[0, π]の一様分布に従う前提で話を進めておりました。
    ですが、ご指摘の通り、Sが一様分布と角OAB一様分布であるとことは同値でないことがわかりました。つまり、1番の問題の解答が間違えていたと思います。

    お手数ですが、下記の1番の問題において, どのように「Sが区間[-1, 1]に一様に分布すること」が示せるかご意見を頂戴したいです。

    度重ねてのご質問大変恐縮ですが、何卒よろしくお願いします。

    「確率変数の変数変換に関する質問」の補足画像1
    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/08/26 01:06
  • 以下のものが自分が模範解答として参照したものです。参考までに、よろしくお願いします。

    「確率変数の変数変換に関する質問」の補足画像2
      補足日時:2017/08/26 01:08

A 回答 (5件)

これは、大学入試の問題ですか?


だとすると、なかなかの難問ですね。

話としては、#4の方の説明されている通りなんですが、
球帯(球を平行な2平面で切断したもの)の表面積は、その高さに比例する。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/area/sphe …
という定理があります。
これは、いわゆる「理系の常識」の一つとして知っているとよいと思います。
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うぅ~ん.... ダメだね. その「模範解答」は「点B は点A を中心とした半径 1 の円周上に一様に分布する」のところが間違ってる.



正しくやるなら A を中心とする半径 1 の球面を考えて, その球面のうち「x座標が 1+S 以下である部分」の面積と球面全体の面積 (つまり球の表面積である 4π) との比 (これが S の確率分布になる) を計算しないといけない. で球面のうち x座標が 1+S 以下である部分の面積はがんばって計算すればよく, 2π(1+S) であるとわかる. 従って S は [-1, 1] に一様に分布する.
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「確率分布を求めたい」というのが「分布関数を求める」のか「密度関数を求める」のかわからないんですが, 分布関数がわかれば密度関数は微分するだけなので分布関数でいく.



X の分布関数を F(x) = Pr{X ≦ x} とおくと, X = √(2(1 - cos α)) = 2 sin(α/2) だから
F(x) = Pr{X ≦ x} = Pr{ 2 sin(α/2) ≦ x}
= Pr{α ≦ 2arcsin(x/2)}
となる. で α が [0, π] の一様分布なので結局
F(x) = (2/π) arcsin(x/2) (0 ≦ x ≦ 2), 0 (x < 0), 1 (x > 2)
となる, と.

いちおう「以下のものが正解のようです」にも突っ込んでおくんだけど, これはつまるところあなたのやった間違いと全く同じなんです. つまり
αが[0, π]の一様分布なのでcosαは[-1, 1]に一様に分布する
の部分がおかしいです.
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

補足いたしましたので、 Tacosanのご意見頂戴したいです。

お礼日時:2017/08/26 11:52

あ, ついでにいうと上の「以下のものが正解のようです」も間違ってるね.

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この回答へのお礼

間違っているのですか。解答例としてあったので間違えてるとは思いませんでした。
もしよろしければどの部分が間違えており、正しい解き方はどのようになるかお教えいただけないでしょうか。
お手数ですが何卒よろしくお願いします。

お礼日時:2017/08/25 18:46

「sin(α/2)は[0, 1]に一様に分布する」の理由は?

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この回答へのお礼

先ほど確認したところ一様分布にはなりませんでした。直感で一様分布になると思っておりました。すいませんでした。

お礼日時:2017/08/25 18:43

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