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F(x)=sinx+cos√2x
を二回微分を用いて 周期関数かどうか証明する方法を教えてください。
数三までを用いて教えてください。

A 回答 (2件)

結論から言って周期関数にはなりません。


かりにTがF(x)の周期とすれば、
すべてのxについてF(x+T)=F(x)なので、両辺を2回微分して
F”(x+T)=F”(x) となりF”(x)もTを周期にもちます。
なので、F(T)=F(0+T)=F(0) よりsinT+cos√2T=1・・・①
また、F”(T)=F”(0+T)=F”(0) より、-(sinT+2cos√2T)=-2、
①からさらに-(1+cos√2T)=-2となりこれから
cos√2T=1 が出ます。したがってkを整数としてT=√2kπ πはパイのこと
となります。
このTを①に入れると、sin√2kπ=0 が出てきますが√2は無理数なので
この式が成立つためにはk=0 でなければならない。
結局T=0であるしかなく、F(x)に0でない周期はないというわけです。
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まず、問題について、「... 周期関数かどうか証明する」という言い方はおかしいですね。

「証明する」というのは、正しいことが分かっている(少なくとも、出題者には)命題について、言う言い方です。

ということで、ここでは、「...周期関数かどうかを理由をつけて答えよ」ぐらいのこととしておきます。
それから、「2階微分を用いて」という点にも引っかかります。周期関数と微分とは関係がなさそうですが、、、。私には、(2階)微分を用いた方法を思いつきませんので、正解ではないかもしれませんが、以下のような解法を考えてみました。

一般に関数 f(x) が周期関数であるとは、ある定数(周期)p(<> 0) に対して、f(x + p) = f(x) が成り立つことである。ここで、<> 0 は 0 ではないことを表すものとする。

このことを踏まえて、問題の関数 F(x) について考える。
この関数が周期関数であると仮定し、その周期を p(<> 0) とすると、周期関数の条件から、
  F(x + p) = F(x)
が成り立つ。左辺を三角関数の加法定理によって展開して整理すると、
  sin x (cos p - 1) + cos x sin p + cos√2x (cos√2p - 1) - sin√2x sin√2p = 0
となる。
この式が任意の x に対して成立するためには、sin x, cos x, cos√2x, sin√2x の係数がすべて 0 でなければならない。すなわち、
  cos p - 1 = 0, sin p = 0, cos√2p - 1 = 0, sin√2p = 0
である。これらを同時に満たす p は0以外存在しない。このことは、F(x) が周期関数であるという仮定に反する。したがって、F(x) は周期関数ではない。
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