【先着1,000名様!】1,000円分をプレゼント!

正の実数a,b,cに対して、不等式1/a+1/b+1/c≧9/(a+b+c)を証明せよ。
また、等号が成り立つための条件を求めよ。と言う問題です

相加平均・相乗平均より
a+b+c≧3(3)√(abc) ‥‥①、等号は、a=b=cの時。
ab+bc+ca≧3(3)√(abc)^2 ‥‥②、等号は、ab=bc=ca → a=b=cの時。
⑶は三乗根と言う意味です
従って、等号成立条件が同じだから、掛けても良い。
①×②より、(a+b+c)(ab+bc+ca)≧9abcだから、証明された。

上記のような回答があるのですがなぜ①、②と置けるのですか?

A 回答 (2件)

正の実数a,bの2つの正の実数がある時の相加相乗平均は、(a+b)/2≧√(ab) ですね



正の実数a,b,cの3つの正の実数がある時の相加相乗平均は、(a+b+c)/3≧³√(abc) となります
これに両辺を3倍して a+b+c≧3׳√(abc) ①

正の実数であれば、相加相乗平均が成り立ちます。

正の実数に正の実数をかけても正の実数になるので、
ab,bc,caもそれぞれ正の実数となります。
よって (ab+bc+ca)/3≧³√(abc)² これも両辺3倍して
ab+bc+ca≧3׳√(abc)² ②

多少強引な感じもしますが、相加相乗はケースごとに
事例を覚えていかなければならないです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

3つの正の実数があるときの相加相乗平均のやり方があったんですね!

勉強になりました!
ありがとうございます(((o(*゚▽゚*)o)))

お礼日時:2017/09/03 11:56

①、②が相加相乗平均の関係なのだと思います。



(a + b + c)/3 ≧ (abc)^(1/3), 等号成立は a = b = c のとき

(ab + bc + ca)/3 ≧ (abbcca)^(1/3), 等号成立は ab = bc = ca → a = b = c のとき
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q一番下の計算はどうやって解けばいいのでしょうか? 友達に聞いたんですけど、普通に解いて。って言われて

一番下の計算はどうやって解けばいいのでしょうか?

友達に聞いたんですけど、普通に解いて。って言われて分からず…。

お願いします。

Aベストアンサー

変数 m の下向きの2次方程式なので、
=0 のx軸との交点間以外の範囲になりますから、No1の通リですね!

Qこの答えは60で合ってますか? 違ってる場合はその理由も教えてください。

この答えは60で合ってますか?
違ってる場合はその理由も教えてください。

Aベストアンサー

No.3です。
補足が付いたので、解決済みとは思いますが、回答しておきます。
それぞれの数字の出し方は同じです。
もしかして!っと思ったけど本当にそうだったとは。
やらかしましたね。
まあードンマイ。

Qこの解法と答えってどうなるのですか? 理解できないです(-_-;) 数学

この解法と答えってどうなるのですか?
理解できないです(-_-;)

数学

Aベストアンサー

an = n・(2n - 1) でしょうか。

S = Σak = Σ(2k^2 - k) = 2Σk^2 - Σk
= 2・n(n + 1)(2n + 1)/6 - n(n + 1)/2
= n(n + 1)/2・[2/3・(2n + 1) - 1]
= 1/6・n(n + 1)(4n - 1)

これで、正しいでしょうか?

Q放物線と円が接する問題について

リンクの画像の問題で、放物線と円が二点で接する場合に判別式D=0となる理由がよくわかりません。一点で接する場合もyの値は一つなのでD=0となるのではないんでしょうか?
私の考えのどこが間違ってるのか教えていただけると幸いです。
http://i.imgur.com/8a0wbf9.jpg

Aベストアンサー

【 接する 】ということを、少し変わった角度から考えて・・・


『 2個の交点が近づいて、一致したとき接点になり、接する 』
  ~~~~~~~~~~

2次方程式の解は、x軸との交点のx座標の値で、
2つの解をα、βとすると、2次方程式は、
(x-α)(x-β)=0
で表され、グラフ(ア)のようにx軸と異なる2点で交わる。


(ア)のグラフを上方に平行移動させるとαとβが近づいていき、
しまいには、αとβが一致して、
グラフ(イ)のように、x軸と接する。

このとき、α=βとなり、
(x-α)^2=0
となって重解になる。
つまり、判別式D=0

問題の解答は、
y=x^2+a と x^2+y^2=9 から x を消去して
(y-a)+y^2=9
y^2+y-a-9=0
と、yの2次方程式になっています。

[1] 放物線と円が2点で接するとき
グラフ(ウ)のように2点で交わり、
放物線を下方に平行移動させると2個の交点が近づいていき、
ついには、2個の交点が一致して
グラフ(エ)のように円と接する。

yの2次方程式だから、yの値が2個(α、β)あり、
(グラフはx軸に関して対称だから、x>0で考える)
グラフを平行移動させることにより
α=βとなり、円と接することになる。

(添付写真があるので、次に続く)

【 接する 】ということを、少し変わった角度から考えて・・・


『 2個の交点が近づいて、一致したとき接点になり、接する 』
  ~~~~~~~~~~

2次方程式の解は、x軸との交点のx座標の値で、
2つの解をα、βとすると、2次方程式は、
(x-α)(x-β)=0
で表され、グラフ(ア)のようにx軸と異なる2点で交わる。


(ア)のグラフを上方に平行移動させるとαとβが近づいていき、
しまいには、αとβが一致して、
グラフ(イ)のように、x軸と接する。

このとき、α=βとなり、
(x-α)^2=0
...続きを読む

Q因数分解について教えてください

xy^2+1-x-y^2を因数分解するとどうなるのでしょうか?
計算過程も教えてください。
娘に聞かれたのですが、恥ずかしながら解りませんでした。

Aベストアンサー

xy²+1-x-y² ←字数の低いもの(ここではx)でまとめてみる
=x(y²-1)-(y²-1) ←共通因子(y²-1)でまとめる
=(x-1)(y²-1) ←(y²-1)公式あり
=(x-1)(y+1)(y-1)

Q三角関数の合成について。 2cosθ-sinθを合成すると、√5cos{θ-(-α)}となるのは分か

三角関数の合成について。
2cosθ-sinθを合成すると、√5cos{θ-(-α)}となるのは分かります。でもこのときのcosα、sinαがいまいち分かりません。というのはαを-αと考えるかαと考えるかが分かりません。cosαは−だろうと変わらないので2/√5というのは答えは同じだと思うのですが、sinαは1/√5なのか、-1/√5なのか。
回答お願いします。

Aベストアンサー

なぜ、根本に立ち返って考えないの?

2cosθ - sinθ
=√5 (2/√5 cosθ - 1/√5 sinθ)
=√5 (cosα cosθ - sinα sinθ) ただし、cosα=2/√5、sinα=1/√5

ここで、cosの加法定理を(逆に)使うとどうなるか?→考えてみたら?

そして、
 ・なぜそのように変形できるのか?(cosの加法定理との関係は?)
 ・そのように変形したときにαはどういう角度なのか?(αのsinとcosはどうなっているのか?)

Qこの数学の問題が分かりません。教えてください!

この数学の問題が分かりません。教えてください!

Aベストアンサー

殆ど、出来ていますね!
EB:DC=1:3
△JEB相似△JDC
JB:BC=1:2=JE:ED …(1)

△AEI 相似△IDG
EI:ID=(2/3):(1/2)=4:3 …(2)

△AHD相似△JHF
AD:JF=4:(2+3)=4:5
HD:JH=4:5 …(3)

JEHIDが同一線であり、AからJDに降ろした垂線はAから2点で囲まれた三角形の共通の高さになるので、各面積比が線分比でもあるので、線分比で考えてよいので、

(1),(2)より
JE:EI:ID=7:4・2:3・2=7:8:6=3・7:3・8:6・3=21:24:18
(3)より
JH:HD=5:4=7・5:7・4=35:28
従って
JE:EH:HI:ID=21:14:10:18
∴ EH:ID=14:18=7:9

Q2つともわからないので、教えて下さい。

2つともわからないので、教えて下さい。

Aベストアンサー

^2は2乗のことです。
92番をします。
時刻tのとき
BP=10-2t,PC=3tなので、
△BPCの面積Sは
S=1/2・(10-2t)・3t
=-3(t-5/2)^2+75/4
となります。
よってこれは下に凸の二次関数なので、
t=5/2のとき最大値75/4をとる。
93番をします。
図から面積yは
y=1/2・(20-x)・x
=-1/2(x-10)^2+50
となり、これも下に凸の二次関数なので
yはx=10cmのとき最大値50cm^2をとる。

Q解いてください

数学の問題を助けてください。
9番を途中式を書いて解いてください。

Aベストアンサー

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d    ①

・(0, 2) で y=9x + 2 に接する
・停留点 (-1, -7) をもつ
P(x) を求めよ。

停留点(stationary point)とは、極小・極大、または変曲点のことです。

(1) (0, 2) における P(x) の接線の傾きは
 P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
より
 P'(0) = c = 9

また、P(x) は (0, 2) を通ることから
 P(0) = d = 2

よって
 P(x) = ax^3 + bx^2 + 9x + 2   ②

(2) (-1, -7) を通るので
 P(-1) = -a + b - 9 + 2 = -7
よって
 b = a

よって
 P(x) = ax^3 + ax^2 + 9x + 2   ③

(3) 極大、極小となるのは
 P'(x) = 3ax^2 + 2ax + 9 = 0
のとき。x=-1 でこれが成り立つので
 3a - 2a + 9 = 0
よって
 a = -9

(4) 念のため、変曲点を調べてみれば③より
 P''(x) = 6ax + 2a = 0
となるのは
 x = -1/3
よって (-1, -7) が変曲点になることはない。 (-1, -7) は「極小点」になる。

(5) 以上より
 P(x) = -9x^3 - 9x^2 + 9x + 2

もう少し効率的な解き方があるかも。

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d    ①

・(0, 2) で y=9x + 2 に接する
・停留点 (-1, -7) をもつ
P(x) を求めよ。

停留点(stationary point)とは、極小・極大、または変曲点のことです。

(1) (0, 2) における P(x) の接線の傾きは
 P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
より
 P'(0) = c = 9

また、P(x) は (0, 2) を通ることから
 P(0) = d = 2

よって
 P(x) = ax^3 + bx^2 + 9x + 2   ②

(2) (-1, -7) を通るので
 P(-1) = -a + b - 9 + 2 = -7
よって
 b = a

よって
 P(x) = ax^3 + ax^2 + 9x + 2 ...続きを読む

Qすみません、この計算どうゆう意味なの?

すみません、この計算どうゆう意味なの?

Aベストアンサー

下図の通り、立方体をθ°回転したものを横から見た時(図では下側から)
BE=BAcosθ
BF=BCcos(90-θ)
θ=45°の時は、三角関数ではなく三平方の定理を使っただけだと思います。


人気Q&Aランキング