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座標平面上に2点A(-2,3)B(0,1)と放物線y=x^2-8x+15がある。
点Pが放物線上の1≦x≦7の範囲を動くとき、次の問いに答えよ。

(1)三角形PABがPA=PBである二等辺三角形となるときの点Pの座標を求めよ。

(2)三角形PABの面積が最小となるときの点Pの座標を求めよ。

この問題の解き方がわかりません!!
答えは
(1)((9-√33)/2,(15-√33)/2)
(2)(2/7,-3/4)
です!

特に(1)の解き方がさっぱりわからないので(1)だけでも教えていただきたいです…

A 回答 (3件)

No.1です。


(1)の別解です。
ΔPABが二等辺三角形になるのですから、
線分ABの中点を通り傾きがABに垂直な直線と二次曲線との交点を求めます。
線分ABの中点は((0+(-2))/2,(3+1))で(-1,2)
線分ABの傾きは(3-1)/(-2-0)=-1従って垂直な直線の傾きは1
y=x+bとして(-1,2)を代入してb=3
従って
y=x^2-8x+15
y=x+3
から
x^2-9x+12=0
後はNo.2の方の通りです。
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>(1)の解き方がさっぱりわからない



何でですかね。どこがわからないのですか?
どのように解けばよいか、という「戦略」が見つからないということですか?
だったら、徹底して「どんくさく」基本通りにやればよいのです。
「上手いやり方」なんて、ほとんどの場合ありませんから。
「戦略」を見つけるコツは、数多く経験を積むしかないでしょう。「苦労して、汗をかいた分だけ上達する」という、スポーツと同じです。

「さっぱりわからない」などといくら斜に構えても道は開けません。人生もまた同じ。

Pの x 座標を a とすれば、y 座標は a^2 - 8a + 15 ですよね。
つまり
 P (a, a^2 - 8a + 15)
 A (-2, 3)
 B (0, 1)
この3点の座標が分かれば、1≦a≦7の範囲で
 PA = PB
となるものを見つけるだけです。
ゴリゴリ計算するだけ。

やってみれば

PA = √[ (a + 2)^2 + (a^2 - 8a + 15 - 3)^2 ] = √[ (a + 2)^2 + (a^2 - 8a + 12)^2 ]

PB = √[ (a - 0)^2 + (a^2 - 8a + 15 - 1)^2 ] = √[ a^2 + (a^2 - 8a + 14)^2 ]

面倒なので、PA^2 = PB^2 としてゴリゴリと計算して整理すると
 a^2 - 9a + 12 = 0
因数分解もできないので、解の公式を使って
 a = (9 ± √33 )/2

1≦a≦7の条件から
 a = (9 - √33 )/2

このときの y 座標は
 [(9 - √33 )/2 ]^2 - 8[(9 - √33 )/2 ] + 15
= 81/4 - 9√33 /2 + 33/4 - 36 + 4√33 + 15
= 114/4 - 21 - √33 /2
= 15/2 - √33 /2


(2)は、△PAB の面積は、ABを底辺とすると、ABを延長した直線と P との距離が「高さ」になるので、△PAB の面積が最小になるのは、P がABに最も近いとき、ということになります。
 このときのPは、接線の傾きが AB の傾きに等しい接線との交点ということですね。

接線の傾きは
 y' = 2x - 8
で、AB の傾きは
 (1 - 3)/(0 + 2) = -1
なので、y' = -1 となるのは
 -1 = 2x - 8
より
 x = 7/2
このときの y 座標は
 (7/2)^2 - 8*(7/2) + 15
= 49/4 - 28 + 15
= 49/4 - 13
= -3/4

従って (7/2, -3/4)

質問文に書かれている解答は間違いですよ。
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y=x^2-8x+15=(x-3)(x-5)


従って
y切片15、x軸と3、5で交わる放物線
P(x,y)とすると
(1)
AP=√{(x-(-2))^2+(y-3)^2}
BP=√{(x-0)^2+(y-1)^2}
AP=BPと一番上の式を連立させて求める。感覚的には2点有ると思う。

(2)
ヘロンの公式
面積をS、3辺の長さをa,b,cとすると
S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)} s=(a+b+c)/2
より最小のSを求める。
(2/7,-3/4)は曲線上にないので間違いだと思う。

計算は勘弁してください。
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