加法定理は円の三角形だけに働くものですか？

加法定理について質問です。
例えばsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβがありますよね。
これって円を使った三角形から証明されたものですよね？

だから例えば、普通の三角形からもこの証明を導き出せるのですか？
もし導き出せないとしたら、普通の三角形には通用しないということですか？

No.8 回答者： ji6 回答日時： 2017/09/19 21:09

単位円の図を用いた加法定理の証明をご存知のようですが、別に円が前提条件になっているわけではないはずです。

２つの角α,βに関するそれぞれの半径(斜辺)を、一般性を無くさずに、扱いやすい同じ半径(斜辺)で論じてあるだけです。
円の性質に依拠して、成り立つ定理ではありません。
したがって、適用に関して円という条件は不要です。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/09/13 12:55

>つまりどんな三角形でも、どんな角度でも、どんな辺の長さでも）

>加法定理の法則（？）は成り立つのか知りたい、という目的です。

三角形に関する定理なら、正弦定理とか余弦定理とかいろいろ
有りますが、加法定理は角度と三角比に関する定理なので
三角形に直接適用できません。

No.6 回答者： uyama33 回答日時： 2017/09/13 07:35

N05の解答のように、どんなときにも成立します。

加法定理の証明は三角関数の定義の形式によっていろいろあります。

１．三角比（直角三角形の辺の長さの比）の場合は、
　　直角三角形の上にもう一つ直角三角形を描いて辺の長さをいろいろ求めて証明する。

２．単位円を使って三角関数を考えている場合は
　　回転を使って単位円上の点を移動させることによって証明する。

３．無限級数で三角関数を定義する場合は、
　　e^iα　と　e^iβ　をかける。

などなど、証明はいろいろあります。

結論は、
角が２つあれば成立します。
三角形がどんな形でも、三角形が無くてもかまいません。

なお、３番の定義は大学入試のときにも、
こっそり使えば便利なことが多いです。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/09/13 00:10

「加法定理」そのものはどんな形状であろうと成り立つ.

それを使う意味があるかどうかは知らない.

この回答へのお礼

確かに覚えるだけなら早いんですけど放っておけなかったのです
まあでも深く考えても入試の点数が上がったりはしないのですが...

お礼日時：2017/09/13 02:36

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/09/12 20:48

>三角形の条件で加法定理の式に当てはめても成立するのだろうか？という意味です。

いや、この「当てはめても」を具体的に示して下さいという意味です。
ここが示されないと何も始まら無いです。

なんとなく加法定理の証明に三角形を利用することと、
定理を三角形に適用(通用?)することがごちゃごちゃに
混ざって大混乱していて、かつそれに自分で気付いていない
気がしますが・・・

この回答へのお礼

そうですね、私はあまり数学には詳しくありません。なので仰る通り質問自体おかしい、ということで合っていると思います。
しかし当方何がどう間違っているか分からないもので...

ただ、私の質問の目的というのを説明させていただきますと、例えば入試などで三角形に関する問題が出た時、どんな状況でも、（つまりどんな三角形でも、どんな角度でも、どんな辺の長さでも）加法定理の法則（？）は成り立つのか知りたい、という目的です。

たしかに、加法定理は角度の問題なので三角形の形状などは関係ないと思いますが、証明に使われた三角形が限定的なものだと思いましたので、他の状況でも通用するのだろうか、と思ったのです。

おかしい質問と内容ですみません。

お礼日時：2017/09/12 23:08

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/09/12 19:28

>

https://www.nakamuri.info/mw/index.php/%E8%A7%92 …

では2個の直角三角形で証明してますが
どう不都合があるのでしょう?

>普通の三角形には通用しないということですか

これどういう意味なんでしょう。
角度の加法定理を「普通の三角形」にどう適用するのですか?

この回答へのお礼

そうですね、通用するという意味は、例えば二等辺三角形でもない直角三角形でもないような（つまり規則性のない）三角形の条件で加法定理の式に当てはめても成立するのだろうか？という意味です。
参考書を見ても、座標上の円の中の三角形を使った証明方法しかないので、円の三角形（つまり二等辺三角形）以外にも成立するのだろうか？と思って質問させていただきました。

お礼日時：2017/09/12 19:45

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/09/12 18:04

「円を使った三角形」とか「普通の三角形」とかって, いったい何なのでしょうか?

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2017/09/12 17:50

加法定理が普通の三角形から簡単に導出可能かはちょっと判らないですが、

三角形の形状やある角の角度を求めたりする問題で、加法定理や他の公式を使う問題は存在しますね。
正弦定理や余弦定理と合わせて、三角形に応用する問題が私の持っている参考書(昔のもの)で複数載っていました。
問題の横に　(○✖　大)　と書かれているので、過去の試験問題として出されたものだと思います。

この回答へのお礼

なるほど、ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/12 23:44