ある本に、フェボナッチ数列の隣り合う項の比をとっていくと(a_1/a_2, a_2/a_3,...のように)ある値に収束していき、その値が黄金比になると書いてありました。いきなりのつながりでびっくりしたんですが、フェボナッチ数列と黄金比の間にはつながりがあるんでしょうか?なぜ、収束値が黄金比になったんでしょうか??教えてください。

A 回答 (4件)

siegmundさんとほとんど答えが重なってしまいましたので


省略した部分について証明しておきましょう。

b_1 = 1, b_n+1 = 1 + 1 / b_n より bn > 1 (n≧2) です。この時

    α = 1 + 1 / α,    …(iii)
    α > 1         …(iv)

を満たすαを考えます。実際、2次方程式(iii)の大きい方の解をαとすると
α = (1 + √5) / 2 で、(iv)を満たしています。

では、準備が整いましたのでやって行きましょう。

0 < | b_n+1 - α |
    = | 1 + 1 / b_n - α |
    = | 1 + 1 / b_n - (1 + 1 / α) |    (∵(iii)より)
    = | 1 / b_n - 1 / α |
    = | (b_n - α) / (b_n α) |
    < (1 / α) | b_n - α|    (∵b_n > 1 より)
    < (1 / α)^2 | b_n-1 - α |
    …
    < (1 / α)^n | b_1 - α |
    → 0 (n→∞)    (∵α > 1より)

ゆえに、lim{n→∞} b_n = α = (1 + √5) / 2
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この回答へのお礼

taropooさん、御回答ありがとうございます。
また、taropooさん以外にも回答していただき、心より感謝申し上げます。
ただ、疑問をもったのは、フィボナッチ数列のとなりあう項の比が黄金比になるのは偶然だったんでしょうか。黄金比とは関わりがなさそうなフィボナッチ数列から黄金比が出てきたことは、なんら関わりもなく出てきたとは考えられません。みなさんの収束するという以外にフィボナッチ数列と黄金比はつながりがないのでしょうか。

お礼日時:2001/07/06 13:25

> みなさんの収束するという以外にフィボナッチ数列と黄金比はつながりがないのでしょうか。



これなんかはいかがでしょうか?(参考URL)
右下の巻貝の図を見ながら頭の中でFn+2=Fn+1+Fnを連想するとつながりが見えてくるかも。

あるいはこんな考え方はどうでしょう?
黄金比の長方形から正方形を取り除いた部分はまた黄金比の長方形ですよね。
そこからまた正方形を取り除いた部分もまた黄金比の長方形。これが永遠に繰り返されるわけです。
図を書くと分かるのですが、ある時点で取り除かれた正方形の一辺a_n+2は
その次に取り除かれた正方形の一辺a_n+1とそのまた次に取り除かれた正方形の一辺a_nとを足した長さになってるんです。
つまり
    a_n+2 = a_n+1 + a_n
すなわちフィボナッチ数列の漸化式そのものを表しています。

ちょっと見えてきました?

参考URL:http://www.asahi-net.or.jp/~WE4K-KGMY/number/rat …
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この回答へのお礼

本当ですね!ちょっと感激してます。
こんなことに時間を時間をさいていただいてありがとうごさいました。

お礼日時:2001/07/11 16:36

フィボナッチ数列{a_n}って



    a_0 = 1, a_1 =1, a_n+2 = a_n+1 + a_n    …(i)

ですよね。この2項間の比を取った数列{b_n}は、(i)の漸化式より

    a_n+2 / a_n+1 = 1 + a_n / a_n+1 = 1 + 1 / (a_n+1 / a_n)
    b_n+1 = 1 + 1 / b_n, b_1=1    …(ii)

となります。(ii)の極限値を求めるにはb_n+1, b_nをαとおいて出来る2次式の正の解をとればいいです。
(本題と外れるので何故それで極限値が求まるのかは記しません。必要でしたらおっしゃってください。)

    α = 1 + 1 / α
    α^2 - α - 1 = 0
    α > 0 より α = ( 1 + √5) / 2

故に

    lim{n→∞} a_n+1 / a_n = ( 1 + √5) / 2

つまり、フィボナッチ数列の2項間の比の極限は黄金比に収束します。

参考URL:http://www.asahi-net.or.jp/~WE4K-KGMY/number/rat …
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フェボナッチでなくて,フィボナッチと言う方が普通のようですが...


(所詮,外国人名なので,表記の違いはあるかも知れません).

フィボナッチ数列の定義は
(1)  a(0) = 1
(2)  a(1) = 1
(3)  a(n) = a(n-2) + a(n-1)
で,1,1,2,3,5,8,13,... となります.

比を取って,b(n) = a(n)/a(n-1) とすると,(3)から
(4)  b(n) = 1/{b(n-2)} + 1
あるいは,同じことですが
(5)  b(n) b(n-2) = b(n-2) + 1
です.
b(n) の極限値が b(∞) が存在するなら,(5)から
(6)  {b(∞)}^2 = b(∞) + 1
ですから,この2次方程式を解いて,正の方の解を選び(明らかに b(n) は正)
(7)  b(∞) = (√5 - 1)/2
で,黄金比になります.
本当は,極限値が存在することの証明が必要ですが,さぼりました.

なお,フィボナッチ数列の一般項(初項は第0項)が
(6)  (1/√5) {(1/x)^(n+1) - (-x)^(n+1)}
です(ビネの公式).

下のスレッドもご覧下さい.

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=86219
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます!!
フィボナッチ数列の一般項も求めたかったので、参考になります。
もしよろしければ、ビネの公式の証明も教えていただけないでしょうか。

お礼日時:2001/07/06 13:06

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=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵{φ_n(x)}は直交)
=a_k∫[a...b](φ_k(x))^2dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx
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こんばんは。問題に対する質問者さんの考え方は基本的の事柄を理解していないように感じます。解答のアウトラインを説明しますので細部はご自分で解析学の教科書を開いて勉強してください。

lim[n→∞](a_n/b_n)=0 より、ある実数 K>0 が存在して

a_n/b_n < K (for all n>0) …(1)

よって、a_n < Kb_n (for all n>0)

Σ[n=0..∞]b_n が収束するから

Σ[n=0..∞]a_n < Σ[n=0..∞]Kb_n = KΣ[n=0..∞]b_n < ∞ …(2)

したがって、Σ[n=0..∞]a_n は収束する。

以上が解答です。この解答に使われている重要な事柄は

(1) 収束する数列は有界である。
(2) 上に有界な単調増加の数列は収束する。

です。レポートにそのまま書くのはかまわないと思いますが、それでは本当の意味で数学の力はつきません。時間がかかってもかまいませんから、きちんと(1)、(2)を勉強してそれからこの問題の解答を理解するようにしてください。

こんばんは。問題に対する質問者さんの考え方は基本的の事柄を理解していないように感じます。解答のアウトラインを説明しますので細部はご自分で解析学の教科書を開いて勉強してください。

lim[n→∞](a_n/b_n)=0 より、ある実数 K>0 が存在して

a_n/b_n < K (for all n>0) …(1)

よって、a_n < Kb_n (for all n>0)

Σ[n=0..∞]b_n が収束するから

Σ[n=0..∞]a_n < Σ[n=0..∞]Kb_n = KΣ[n=0..∞]b_n < ∞ …(2)

したがって、Σ[n=0..∞]a_n は収束する。

以上が解答です。この解答に使われている...続きを読む

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今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
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{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
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Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.


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