ある本に、フェボナッチ数列の隣り合う項の比をとっていくと(a_1/a_2, a_2/a_3,...のように)ある値に収束していき、その値が黄金比になると書いてありました。いきなりのつながりでびっくりしたんですが、フェボナッチ数列と黄金比の間にはつながりがあるんでしょうか?なぜ、収束値が黄金比になったんでしょうか??教えてください。

A 回答 (4件)

siegmundさんとほとんど答えが重なってしまいましたので


省略した部分について証明しておきましょう。

b_1 = 1, b_n+1 = 1 + 1 / b_n より bn > 1 (n≧2) です。この時

    α = 1 + 1 / α,    …(iii)
    α > 1         …(iv)

を満たすαを考えます。実際、2次方程式(iii)の大きい方の解をαとすると
α = (1 + √5) / 2 で、(iv)を満たしています。

では、準備が整いましたのでやって行きましょう。

0 < | b_n+1 - α |
    = | 1 + 1 / b_n - α |
    = | 1 + 1 / b_n - (1 + 1 / α) |    (∵(iii)より)
    = | 1 / b_n - 1 / α |
    = | (b_n - α) / (b_n α) |
    < (1 / α) | b_n - α|    (∵b_n > 1 より)
    < (1 / α)^2 | b_n-1 - α |
    …
    < (1 / α)^n | b_1 - α |
    → 0 (n→∞)    (∵α > 1より)

ゆえに、lim{n→∞} b_n = α = (1 + √5) / 2
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この回答へのお礼

taropooさん、御回答ありがとうございます。
また、taropooさん以外にも回答していただき、心より感謝申し上げます。
ただ、疑問をもったのは、フィボナッチ数列のとなりあう項の比が黄金比になるのは偶然だったんでしょうか。黄金比とは関わりがなさそうなフィボナッチ数列から黄金比が出てきたことは、なんら関わりもなく出てきたとは考えられません。みなさんの収束するという以外にフィボナッチ数列と黄金比はつながりがないのでしょうか。

お礼日時:2001/07/06 13:25

> みなさんの収束するという以外にフィボナッチ数列と黄金比はつながりがないのでしょうか。



これなんかはいかがでしょうか?(参考URL)
右下の巻貝の図を見ながら頭の中でFn+2=Fn+1+Fnを連想するとつながりが見えてくるかも。

あるいはこんな考え方はどうでしょう?
黄金比の長方形から正方形を取り除いた部分はまた黄金比の長方形ですよね。
そこからまた正方形を取り除いた部分もまた黄金比の長方形。これが永遠に繰り返されるわけです。
図を書くと分かるのですが、ある時点で取り除かれた正方形の一辺a_n+2は
その次に取り除かれた正方形の一辺a_n+1とそのまた次に取り除かれた正方形の一辺a_nとを足した長さになってるんです。
つまり
    a_n+2 = a_n+1 + a_n
すなわちフィボナッチ数列の漸化式そのものを表しています。

ちょっと見えてきました?

参考URL:http://www.asahi-net.or.jp/~WE4K-KGMY/number/rat …
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この回答へのお礼

本当ですね!ちょっと感激してます。
こんなことに時間を時間をさいていただいてありがとうごさいました。

お礼日時:2001/07/11 16:36

フィボナッチ数列{a_n}って



    a_0 = 1, a_1 =1, a_n+2 = a_n+1 + a_n    …(i)

ですよね。この2項間の比を取った数列{b_n}は、(i)の漸化式より

    a_n+2 / a_n+1 = 1 + a_n / a_n+1 = 1 + 1 / (a_n+1 / a_n)
    b_n+1 = 1 + 1 / b_n, b_1=1    …(ii)

となります。(ii)の極限値を求めるにはb_n+1, b_nをαとおいて出来る2次式の正の解をとればいいです。
(本題と外れるので何故それで極限値が求まるのかは記しません。必要でしたらおっしゃってください。)

    α = 1 + 1 / α
    α^2 - α - 1 = 0
    α > 0 より α = ( 1 + √5) / 2

故に

    lim{n→∞} a_n+1 / a_n = ( 1 + √5) / 2

つまり、フィボナッチ数列の2項間の比の極限は黄金比に収束します。

参考URL:http://www.asahi-net.or.jp/~WE4K-KGMY/number/rat …
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フェボナッチでなくて,フィボナッチと言う方が普通のようですが...


(所詮,外国人名なので,表記の違いはあるかも知れません).

フィボナッチ数列の定義は
(1)  a(0) = 1
(2)  a(1) = 1
(3)  a(n) = a(n-2) + a(n-1)
で,1,1,2,3,5,8,13,... となります.

比を取って,b(n) = a(n)/a(n-1) とすると,(3)から
(4)  b(n) = 1/{b(n-2)} + 1
あるいは,同じことですが
(5)  b(n) b(n-2) = b(n-2) + 1
です.
b(n) の極限値が b(∞) が存在するなら,(5)から
(6)  {b(∞)}^2 = b(∞) + 1
ですから,この2次方程式を解いて,正の方の解を選び(明らかに b(n) は正)
(7)  b(∞) = (√5 - 1)/2
で,黄金比になります.
本当は,極限値が存在することの証明が必要ですが,さぼりました.

なお,フィボナッチ数列の一般項(初項は第0項)が
(6)  (1/√5) {(1/x)^(n+1) - (-x)^(n+1)}
です(ビネの公式).

下のスレッドもご覧下さい.

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=86219
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます!!
フィボナッチ数列の一般項も求めたかったので、参考になります。
もしよろしければ、ビネの公式の証明も教えていただけないでしょうか。

お礼日時:2001/07/06 13:06

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Q黄金比、白銀比以外の名前は?2:1は?

1:1.6180・・・は黄金比
1:1+√2は白銀比、大和比

と名前がありますよね?

他にはこういった名前の付いた比率ってないんでしょうか?
また、2:1には何か特別な名前、名称はないのでしょうか?
ちょっと気になったもので
知ってる方はよろしくお願いします

Aベストアンサー

黄金比 1 : (1+√5)/2 については、昔から、西洋の美の基準として有名ですが、
「白銀比」という言葉をよく目にするようになったのは、映画「ダビンチ・コード」
のプロモーションと関連して、黄金比に関する文章が多く書かれるようになった頃。
それ以降、西洋文化の黄金比と日本文化の白銀比という対比で、しばしば語られる
ようになりました。恐らく、「白銀比」自体が、この人↓の造語かと。
http://bookweb.kinokuniya.co.jp/guest/cgi-bin/wshosea.cgi?W-ISBN=4396612729
日本の歴史的造形に √2 が多く潜んでいるのは、事実でしょうが。

因みに、白銀比は 1 : √2 らしいです。Wikipedia には、ナゼか 1 : 1+√2 とあり
ましたが… 毎度のことですかね。

2 : 1 の名称は、「倍」だと思います。

QΣ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ

[問]Σ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ。
[解]
(i) p>0の時,
1/1^p≧1/2^p≧…≧0且つlim[n→∞]1/n^p=0
よって定理「Σ[n=1..∞]a_n∈Rで{b_k}は単調且つlim[n→∞]b_n=0⇒Σ[n=1..∞]a_kb_kも収束」より
Σ[n=1..∞]a_n/n^p∈R
(ii) p=1の時
Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]a_nで収束(∵仮定)
(iii) p<0の時
が分かりません。
どのようにして判定すればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

簡単な判定方法はありません。
Σ[n=1..∞]a_n/n^p
のタイプの級数をディリクレ級数といいます。冪級数の収束半径のようなものがあり、pの実部がσより大きいと収束し、pの実部がσより小さいと発散するような実数σが存在します。pの実部がσのときは収束することもあれば発散することもあります。
この問題の場合σが負または0であること以上のことはわかりません。a_nによってσは異ります。

Q黄金比長方形は美しいですか?

黄金比は古来、美しい比として知られています。
人間でも風景でも美しいものには黄金比が含まれているらしく、ミロのビーナスやら葛飾北斎の富士山の絵の中にもあったりするそうです。
これらはまあいいんです。

しかし、「黄金比の長方形は美しい」というのがどうも納得できません。
私は白銀比(1:√2)の長方形の方が好きです。黄金比はどうも細長すぎてしまりがありません。
皆さんはどうでしょうか。

Aベストアンサー

絵画に限って言えば、胸像画には白銀比が多いです。

TVの画面比率が当初3:4だったのもこれに由来しているそうです。35mm銀塩フィルムの1コマの比率も、約1:1.4ですね。

QΣ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる

こんにちは。

[問]{φ_n(x)}を[a,b]での直交関数列とせよ。級数Σ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる事を示せ。
[証]
仮定より[a,b]でΣ[n=1..∞]a_nφ_n(x)=f(x) …(1)と言える。
c_k (k=0,1,2,…)をf(x)の{φ_n(x)}に於ける[a,b]でのフーリエ係数とすると
フーリエ係数の定義から
c_k=∫[a..b]f(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx=∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵(1))
=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵{φ_n(x)}は直交)
=a_k∫[a...b](φ_k(x))^2dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx
=a_k
となり,一様収束である事の条件を使わなかったのですがこれで正しいのでしょうか?

こんにちは。

[問]{φ_n(x)}を[a,b]での直交関数列とせよ。級数Σ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる事を示せ。
[証]
仮定より[a,b]でΣ[n=1..∞]a_nφ_n(x)=f(x) …(1)と言える。
c_k (k=0,1,2,…)をf(x)の{φ_n(x)}に於ける[a,b]でのフーリエ係数とすると
フーリエ係数の定義から
c_k=∫[a..b]f(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx=∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵(1))
=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵{φ_n(x)...続きを読む

Aベストアンサー

そのままでは直交性
∫[a...b]φ_n(x)φ_k(x)dx=0 (n≠k)
を利用できないので、Σと∫を入れ換えないといけないのです。

Q白銀比について

黄金比は1:1.618...と1:0.618...だと聞きました。
では、白銀比も1:1.414...と1:0.414ですか?

調べたのですが、わかりませんでした。。。
回答お願いします。。。

Aベストアンサー

そのようですね。

白銀比は

1+√2  (2.414)



√2   (1.414)

の2つがあるようです。

このうち、

2.414:1  は  1:0.414 ですね。

ですから ご質問の通りだと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BD%E9%8A%80%E6%AF%94

Q単位円上にn点A_1,A_2,…A_nがあったとき、OA_1↑+OA_2↑+…+OA_n↑=0↑ならば

つい先ほど数学カテですばらしい回答をいただきました。ありがとうございます。拡張問題としてはどうなるのか疑問を持ちました。

中心を原点Oとする単位円上にn点A_1,A_2,…,A_nがあったとき、

OA_1↑+OA_2↑+…+OA_n↑=0↑

とn個のベクトルの和が0となるとき、いったいどういった関係があるのでしょうか?

たとえば、n=3であれば、3点A_1,A_2,A_3は正三角形の頂点をなすことは、先ほど教えていただきました。

たとえば、n=4であれば、4点A_1,A_2,A_3,A_4は長方形(もしくはつぶれて線分になったもの)の頂点をなすであろうと予想しますが。

Aベストアンサー

aiueoさんがおっしゃっておられることは、例えば、(以下すべてベクトルです)
OB1=OA1
OB2=OB1+OA2
...
OBn=OB(n-1)+OAn
としたときに、OBn=0で、多角形B1B2B3...Bnが等辺多角形になるということですね。
あまり良く考えずにその点勘違いし、失礼しました。
私(ならびに他の方々)の回答は単位円の周上のn個の点A1,A2,A3,...,Anの位置関係の話ですが、それとauieuさんの等辺多角形になるという事実との関係が見えて興味深いです。

Q黄金比

宇宙の進化によって自然に黄金比が出来上がる時
(銀河系や、或いは更にその大きな宇宙レベル)、
一体どういった法則・現象があれば
理論的に黄金比になりえるか、

参考になるページ等貼っていただければ幸いです。

「黄金比になる理由」が分かっていないならそれも併せてお願いします。

只、
「その図形から正方形を取って又同じ形になる」のが黄金比だけだということを考えると、何らかの必然があるのではないでしょうか。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

黄金比はフィボナッチ数列からきています。
自然の造形がフィボナッチ数列になることはよくあります。フィボナッチ数列は黄金比に収束します。そのため神前の形が黄金比なることがよくあります。

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q黄金比

Wikipediaの黄金比の説明によると美しい連分数を持つとあります。
質問の内容はこの黄金比と連分数を無理に結びつけていないかなのですが、順を追って説明します。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E6%AF%94

なるほど綺麗だなと実際に計算してみると
どんな二次関数も似た構造になることが分かりました。。。

一応式の変形を掲げておきます。
x^2-4x+3=0 という二次方程式があったとして
x^2=4x-3 に変形でき、これを両辺 X で割るとx=4-3/x となります。
xの部分に4-3/xを代入していくと連分数になります。

黄金比はx^2-x-1=0の解ですがx^2-nx-n=0(n=1、2、3・・・)ならば
nの値にしたがって黄金比のところの連分数の値が1、2、3と変わっていくのが分かります。

つまりnが2以上の黄金比でなくても綺麗な形の連分数になるということです。
しかし、nが2以上の解が図形の比率で意味を持つというのを聞いたことがありません。

ゆえに無理に黄金比と連分数を結びつけて、神秘性をこじつけている気がしているのです。
それとも何か数学的に重要な意味があるのでしょうか?

Wikipediaの黄金比の説明によると美しい連分数を持つとあります。
質問の内容はこの黄金比と連分数を無理に結びつけていないかなのですが、順を追って説明します。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E6%AF%94

なるほど綺麗だなと実際に計算してみると
どんな二次関数も似た構造になることが分かりました。。。

一応式の変形を掲げておきます。
x^2-4x+3=0 という二次方程式があったとして
x^2=4x-3 に変形でき、これを両辺 X で割るとx=4-3/x となります。
xの部分に4-3/xを代入して...続きを読む

Aベストアンサー

まあ、それはこじつけですね(笑)
連分数の導入の方法自体が違います。まあ、多分偶然です。
(それにしても、全ての二次方程式が連分数構造になるのは面白い発見ですね)

本来、解に対して、解が連分数の構造になっているものです。
ところが質問者は二次方程式を変形しています。
実は黄金比の連分数展開としてその事例は時折用いられます。
wikiにも掲載されているようなので、恐らくこちらをみて錯覚したのでしょう。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0

黄金比や白銀比は連分数のn=1、2、3において次の数列の関係にあります。

An=A2+(1/An-1) A1=1、A2=k

ちょっと分かりにくいかもしれませんが、A2の値が1なら黄金比、2なら白銀比です。
A2の値が3だと赤銅比とかいう名前がついているようですが詳細は知りません。
このAnの極限値を求めると黄金比が導かれているというものです。

図形としての比に意義を見出すのならA2=1、2、3までではないでしょうか?
実際に計算してみると分かりますが、Anの値はどんどん大きくなっていくので比に適さなくなります。
まあ、自然界のあっと驚く何かが隠されているかもは否定しません。

まあ、それはこじつけですね(笑)
連分数の導入の方法自体が違います。まあ、多分偶然です。
(それにしても、全ての二次方程式が連分数構造になるのは面白い発見ですね)

本来、解に対して、解が連分数の構造になっているものです。
ところが質問者は二次方程式を変形しています。
実は黄金比の連分数展開としてその事例は時折用いられます。
wikiにも掲載されているようなので、恐らくこちらをみて錯覚したのでしょう。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0

黄金比や白銀...続きを読む

Q a_1 = 1 , a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1,2,

 a_1 = 1 , a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1,2,3・・)に対して、次の問題に答えよ。
(1) a^2_(n+1) - a^2_n = a_n - a_(n-1) が成り立つことを示し、数列{a_n}が単調数列であることを示せ
(2) a_n<2 となることを示せ
(3) lim a_n (n→∞)を求めよ
以前に質問して答えていただいたのですが、(3)が、理解できませんでした。(3)から、途中式も詳しく教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#2 の訂正:
考える x を「x^2 = 1+x」としちゃうと問題があるので, ここは「x = √(1+x) を満たす x」としてください. ついでにそのあとの式も
a_(n+1) - x = √(1+a_n) - √(1+x)
から右辺の有理化という方針にしてください.
でも, 「前にした質問」の URL は書いてくれないのね.... その「前の質問」に答えた人への対応としても, ちゃんと「どの質問であるのか」を明記するのが人として正しいと思います.


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