この問題の解き方を教えてください！

解き方を教えていただきたいです。
答えはf(x)=log(x+1)です。

質問者からの補足コメント

• 画像が見えにくくてすみません。
  問題は、
  関数f(x)はx>0において微分可能であり、かつx≧0において ∮0からx f(t)dt=(x+1)f(x)-xを満たす。f(x)を求めよ。 です。

    補足日時：2017/09/14 22:02

No.2 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/09/15 15:38

すみませんでした！

両辺を微分しましょう！
f(x)=f(x)+(x+1)f'(x)ー1
∴ f'(x)=1/(x+1)
両辺を積分して、
f(x)=log I x+1 I =log(x+1) … ∵ x≧0なので！

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/09/18 04:40

このように ↓ 複数の質問サイトで同じ質問をしている場合, どうしても回答意欲が低下します.

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

どちらの回答を見ても分かるように, この問題はかなり出鱈目な解き方をしても, まぐれ当たりで正解が得られます.
しかし, 記述式の問題なら, 間違いなく零点です.
特に注意を要するのが, まず, 左辺を x で微分すると f(x) になる, という部分でしょう.
問題には, f は 0 で（右）微分可能である, とは書かれていません.
x > 0 のとき, f が閉区間 [0, x] で連続である, とも書かれていません.
次に, x > 0 のとき f(x) = log(x + 1) + C, ただし C は実数定数, であることは正しいのですが...
だからといって, 左辺 = ∫_[0, x] {log(t + 1) + C} dt と, 説明もせずに書くのは危険です.
この問題は高校数学の範囲を超えているので, 大学入試に出題するのは不適切かもしれません.

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/09/15 15:27

与式において、x=0とおくと

左辺=0
右辺=(0+1)f(0)ー0=f(0)
∴ f(0)=0
よって、
左辺=f(x)ーf(0)=f(x)ー0=f(x) より
∴ f(x)=(x+1)f(x)ーx
∴ x｛f(x)ー1｝=0
∴ x=0 または f(x)=1
従って
x=0 の時 f(0)=0
x＞0 の時 f(x)=1