円順列について、
例えば、a,b,c,dを円形に並べるとき、一つを固定し、残った三つの順列を考えると、並べ方の総数がわかるらしいのですが、なぜ固定して考えると上手くいくのですか?暗記は避けたいです。解説をよろしくお願いします。

A 回答 (3件)

いくつかの並べ方があるときに、それらが異なる並べ方かどうかを調べるためには、並べ方を比較するための基準が必要です。



一列に並べるような場合は、左端を基準にして配列を比較することができます。(左端でなくても可)

円形に並べるときは、a,b,c,d のどれか1個を基準としなければ円形の配列の比較ができません。そこで、例えば a を基準とします。その基準 a に対しての残りの b,c,d の異なる並び方を考えることで、異なる円順列の数が求まります。

「円順列では、1つは基準とし、残りをその基準に対して並べていく」と考えます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2017/09/17 10:00

「円形」ですから、


 A-B-C-D
 B-C-D-A
 C-D-A-B
 D-A-B-C
は「同じ並び順」になります。円形がぐるぐる回って違うように見えるだけです。

だから「1つを固定する」のです。
上の例では、「A」を固定すれば、残った3つは「円でつながっていれば同じ並び順」ですよね。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2017/09/17 10:01

下記の解説でご理解いただけるか不安ですが・・・



普通の順列、例えば一直線上にa,b,c,dを並べる場合には一番目、二番目、三番目、四番目があります。
その場合の並べ方の総数は、4×3×2×1と計算しますが、これは並び順の
一番目は4パターン
二番目は(一番目以外の)3パターン
三番目は(一、二番目以外の)2パターン
四番目は(一、二、三番目以外の)1パターン
という全てのパターンを計算することと同じです。

しかし円状に並べる場合には、一番目、二番目、三番目、四番目が「明確に決められません」。
というのも同じ並べ方を見ていても、どこが一番目なのか?二番目なのか?が直線上に並べるときと違って明らかでないためです。

そのため「ここが一番目」と任意に決めてしまいます。
時計で例えれば、数字の書いていない丸時計の「ここが12時」と決めてしまえば、残りの1〜11時の場所は勝手に決まりますよね。
ただ時計と違って、a,b,c,dを円状に並べる全ての総数を求めるならば、固定したもの以外の3つの順番を決める必要があります。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2017/09/17 10:01

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q数学の実数の問題です。

こんばんは、ただいま数学の先生からの難題に頭を抱えています。
その答えを見つけるにあたり下記の解、またその証明方法が知りたいです。
中学生でもわかる証明法だといいです。

[2,3]と[2,10]において、どちらの区間がより多い実数を有しているか。

どちらも無限に続くので参っています。
ヒントだけでもよろしいので教えて下さいませんか。

*自分なりに一応考えてみました。
[2,3]の実数をx(∞)とする(仮定)       ・・・①
[2,10]の実数は[2,3]の8倍なので8x      ・・・②
①と②より、  x<8x
故に [2,3]<[2,10]
はじめはこれが正解だと思っていたのですが、見直したところ、どうにも安直な証明法なのでここに質問することにしました。

Aベストアンサー

濃度という意味で言えば同じですね。

小数点以下の桁数が限られていればあなたが考えた通りなのですが、
実際には桁数も無限なので、無限の実数を含むことになります。
無限なのだから当然個数で比較することはできません。
ですので、別の考え方が必要でしょう。


区間 [2,3] から、実数xを一つ取ります。
ここで変換式 8(x-2)+2 を適用すると
どんなxに対しても区間 [2,10] の実数になります。

逆に、区間 [2,10] から、実数yを一つ取り
変換式 (1/8)(y-2)+2 を適用すると
どんなyに対しても区間 [2,3] の実数になります。

つまり、二つの区間内の実数が一対一で変換できるので、
個数は同じだけある。
というのが答えになります。

大学数学ではこれを濃度が同じとしています。
イメージとしては「長さが違ったとしても同じ一本の線(の区間)」
なので一対一に対応できるのは当たり前、といったところでしょうか。

Qこれって数学的何ですか?

数学の自由研究について調べるうちにこんなものを発見しましたhttp://buzz-plus.com/article/2015/01/12/janken/

数学的ってなんか数字を使ってるイメージなんですけど、これはデータの読み取りですか?

数学が好きな方、詳しい方は僕の言ってる意味が分かんないと思いますが、是非回答をお願いします。

僕は数学が苦手です。

Aベストアンサー

ゲーム理論のナッシュ均衡というものがあります。

数学ですので、数式を用いて説明すると以下の通りになります。
標準型ゲーム G = (N, S, u) (N はプレーヤーの集合、S = prod_{i in N} S_i は戦略の組の集合、u = (u_i)_{i in N} ; (u_i : S rightarrow mathbb{R}) は効用の組)において、戦略の組 s^* in S がナッシュ均衡であるとは、全てのプレーヤー i in N と、全ての s_i in S_i に対して、 u_i(s^*) geq u_i(s_i, s^*_{-i})

どうですか?全く意味がわからないですよね。

具体的な例を出して説明すると少しはましかもしれません。

冷蔵庫を販売している家電量販店AとBがあるとします。
AとBがお互い時期をずらしながら定期的にセールを開催し、冷蔵庫を販売している中、新手の家電量販店Cが出店し、激安価格で冷蔵庫を販売したとします。
AもBも負けじと価格を下げ、これ以上下げれない状態まで、AとBとCが価格を下げきり、しかも、ここで価格を上げると売れなくなってしまうため、損するような状況であれば、これはナッシュ均衡と言えます。利益が出ない状況まで値下げしてしまったけど、もう価格を戻すこともできない、まさに硬直状態ですね。

このようにナッシュ均衡は、身の回りにもたくさんあふれているものですので、そういった事例を探していくのは研究のひとつになるかもしれませんね

ゲーム理論のナッシュ均衡というものがあります。

数学ですので、数式を用いて説明すると以下の通りになります。
標準型ゲーム G = (N, S, u) (N はプレーヤーの集合、S = prod_{i in N} S_i は戦略の組の集合、u = (u_i)_{i in N} ; (u_i : S rightarrow mathbb{R}) は効用の組)において、戦略の組 s^* in S がナッシュ均衡であるとは、全てのプレーヤー i in N と、全ての s_i in S_i に対して、 u_i(s^*) geq u_i(s_i, s^*_{-i})

どうですか?全く意味がわからないですよね。

具体的な例を出して説明する...続きを読む

Q放物線と円が接する問題について

リンクの画像の問題で、放物線と円が二点で接する場合に判別式D=0となる理由がよくわかりません。一点で接する場合もyの値は一つなのでD=0となるのではないんでしょうか?
私の考えのどこが間違ってるのか教えていただけると幸いです。
http://i.imgur.com/8a0wbf9.jpg

Aベストアンサー

【 接する 】ということを、少し変わった角度から考えて・・・


『 2個の交点が近づいて、一致したとき接点になり、接する 』
  ~~~~~~~~~~

2次方程式の解は、x軸との交点のx座標の値で、
2つの解をα、βとすると、2次方程式は、
(x-α)(x-β)=0
で表され、グラフ(ア)のようにx軸と異なる2点で交わる。


(ア)のグラフを上方に平行移動させるとαとβが近づいていき、
しまいには、αとβが一致して、
グラフ(イ)のように、x軸と接する。

このとき、α=βとなり、
(x-α)^2=0
となって重解になる。
つまり、判別式D=0

問題の解答は、
y=x^2+a と x^2+y^2=9 から x を消去して
(y-a)+y^2=9
y^2+y-a-9=0
と、yの2次方程式になっています。

[1] 放物線と円が2点で接するとき
グラフ(ウ)のように2点で交わり、
放物線を下方に平行移動させると2個の交点が近づいていき、
ついには、2個の交点が一致して
グラフ(エ)のように円と接する。

yの2次方程式だから、yの値が2個(α、β)あり、
(グラフはx軸に関して対称だから、x>0で考える)
グラフを平行移動させることにより
α=βとなり、円と接することになる。

(添付写真があるので、次に続く)

【 接する 】ということを、少し変わった角度から考えて・・・


『 2個の交点が近づいて、一致したとき接点になり、接する 』
  ~~~~~~~~~~

2次方程式の解は、x軸との交点のx座標の値で、
2つの解をα、βとすると、2次方程式は、
(x-α)(x-β)=0
で表され、グラフ(ア)のようにx軸と異なる2点で交わる。


(ア)のグラフを上方に平行移動させるとαとβが近づいていき、
しまいには、αとβが一致して、
グラフ(イ)のように、x軸と接する。

このとき、α=βとなり、
(x-α)^2=0
...続きを読む

Q数A塗り分け問題について。この16番で答えではD→A→B→C→Eと塗ってます。たしかに普通そうします

数A塗り分け問題について。この16番で答えではD→A→B→C→Eと塗ってます。たしかに普通そうしますが、ちょっとA→B→C→D→Eでやってみようと思いやってみたら計算が合いませんでした。計算方法が変わったりしますか?また注意すべきことなど教えてください。

Aベストアンサー

どうして回答例がDから決めているかといえば、Dが全ての領域を接しているからです。
言い換えるならば、Dに使った色はほかのA,B,C,Eのいずれにも使えないことが決定するからです。

その上で、あえてA,B,C,D,Eの順番で決めていくとすると・・・・
Aには好きな色が塗れます。4色
BにはAで使わなかった色が使えるので、3色
CにはAで使わなかった色が使えるので、3色
ここまでは良いのですが、
Dは、BとCが同じ色だった場合は、それ以外の2色
Dは、BとCが違う色だった場合は、それ以外の1色となってしまいます。
EはB、Dで使わなかった残りの2色となります。

したがって、BとCの色が同じである場合と違う場合を分けて考えなくてはなりません。
Aは4色
Bは3色
Cは3色でうち1色はBと同じ
・・・・
CがBと同じ場合Dは2色
CがBとは違う場合Dは1色
Eは2色
なので、
求める組み合わせは
BとCが同じ場合の
4×3×1×2×2=48通り

BとCが違う場合の
4×3×2×1×2=48通り
を合計した96通りとなります。

Q近似値はuですか?vですか? 別の記号ですか? あのuみたいな崩れ字もギリシャ文字ですか? あれはu

近似値はuですか?vですか?

別の記号ですか?

あのuみたいな崩れ字もギリシャ文字ですか?

あれはuの小文字ですか?

Aベストアンサー

ご自分で定義してもかまいません。

Qこの問題の解き方が何回やっても分かりません。教えてください

この問題の解き方が何回やっても分かりません。教えてください

Aベストアンサー

Yが(5-2x)なら
4x+3(5-2x)=-18ということになりこれを計算して

4x+15-6x=-18 と同じということになり
x同士を計算するために式を変えて

4x-6x+15=-18 となり
-2x+15=-18であるからして

-2x=-33となり
x=-33÷2なので

x=16.5 !

Y=5-2x に当てはめて

Y=5-(2×16.5)
Y=5-33

Y=-28 !

これを換算して

(4×16.5)+(3×-28)=
66+(-84)=-18 !!!

でけた〜って感じです。

Q数学についてです。2番の問題でC1からC2を引いた値が直線PQを表すのはなぜですか?

数学についてです。2番の問題でC1からC2を引いた値が直線PQを表すのはなぜですか?

Aベストアンサー

受験生だと思うので、取り敢えず次のことは押さえておきましょう!
Ⅰ.2円の交点を通る第3の円の方程式は
(円の方程式①)+k(円の方程式②)=0 と表すことができる。

Ⅱ.上の式において、k=-1 とすると 2円の交点を通る直線を表す。

その理屈は、参考書、ネット等に必ず重要事項としてまとめてあります。
「2円の交点を通る図形(円・直線)」を調べてください。

ただし、文章では伝わりにくい部分があるので、
可能ならば、だれかに直接説明してもらうのが良いです。

Q80番の(2)で答えには常用対数使ってましたが、自然対数でも良いのですか? そして、なぜ常用対数をつ

80番の(2)で答えには常用対数使ってましたが、自然対数でも良いのですか?
そして、なぜ常用対数をつかってるのでしょうか。

Aベストアンサー

(1)より、はさみうちの定理よりlim【n→∞】Xn=b
どちらの対数でもOkなので、こだわらなくていいです。
解答例を載せましょう!

Q三角関数の極限値

以下の問題ですが、解法が分からず、解説もなく、周りに質問できる人もいないので、解説を教えていただけませんか?

(1)lim[x→π]tanx/x-π

(2)lim[x→∞](x・sin1/x)

Aベストアンサー

lim[x→0] sinx /x =1
lim[x→0] tanx /x =lim[x→0] sinx/cosx ・1/x
=lim[x→0] 1/cosx ・sinx /x =1・1=1

という式を知っていれば、難しいことはありません。
あとはどうにか変形してこの式を用いて表せるかを考えるだけです。

(1)では、まず tan(π-x) = -tan x から
lim[x→π] tanx /(x-π) =lim[x→π] -tan(π-x) /(x-π) =lim[x→π] tan(π-x) /(π-x)
と変形します。
あとは π-x=t とでもおけば、x→π なら t→0 になることから
lim[x→π] tan(π-x) /(π-x)
=lim[t→0] tan(t) /t
と変形するだけですね。

(2)は x= 1/(1/x) であることに気づけば、
lim[x→∞] (x・sin1/x) =lim[x→∞] (sin1/x)/(1/x)
ここで 1/x=t とおけば、x→∞ なら t→0 なのだから
lim[x→∞] (sin1/x)/(1/x)
=lim[t→0] sin(t) /t
と変形できます。

解答は最初に示した式から明らかでしょう。

lim[x→0] sinx /x =1
lim[x→0] tanx /x =lim[x→0] sinx/cosx ・1/x
=lim[x→0] 1/cosx ・sinx /x =1・1=1

という式を知っていれば、難しいことはありません。
あとはどうにか変形してこの式を用いて表せるかを考えるだけです。

(1)では、まず tan(π-x) = -tan x から
lim[x→π] tanx /(x-π) =lim[x→π] -tan(π-x) /(x-π) =lim[x→π] tan(π-x) /(π-x)
と変形します。
あとは π-x=t とでもおけば、x→π なら t→0 になることから
lim[x→π] tan(π-x) /(π-x)
=lim[t→0] tan(t) /t
と変形するだけですね。

(2)は x= 1/(1/...続きを読む

Q「整数係数方程式の有理解の定理」は入試でそのまま使ってよいのか?

整数係数方程式a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+・・・・・・・・・+a_1x+a_0=0(a_n≠0,a_0≠0)の有理数解は±(a_0の絶対値の約数)/(a_nの絶対値の約数)の形である。

上記を「整数係数方程式の有理解の定理」としていきなり答案解答に使っていいものなんでしょうか?

http://mathtrain.jp/sqrt2irrational によると、
----引用開始-------------------------
「方程式 ax2+bx+c=0 の有理数解を q/p(既約分数)とおくと,p は a の約数で q は c の約数である」
という重要な定理を認めれば一発で証明できます。
この定理は入試でもよく使います。
----引用終了-------------------------
として√2が無理数であることの証明に用いられています。

入試解答文に記載する際
①「整数係数方程式の有理解の定理より」のように書いてしまってよいのか?
②「整数係数方程式a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+・・・・・・・・・+a_1x+a_0=0(a_n≠0,a_0≠0)の有理数解は±(a_0の絶対値の約数)/(a_nの絶対値の約数)の形となることより」みたいにかくべきなのか?

このあたりについて、ご存知の方がおられましたら何卒よろしくご教示くださいませ。

整数係数方程式a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+・・・・・・・・・+a_1x+a_0=0(a_n≠0,a_0≠0)の有理数解は±(a_0の絶対値の約数)/(a_nの絶対値の約数)の形である。

上記を「整数係数方程式の有理解の定理」としていきなり答案解答に使っていいものなんでしょうか?

http://mathtrain.jp/sqrt2irrational によると、
----引用開始-------------------------
「方程式 ax2+bx+c=0 の有理数解を q/p(既約分数)とおくと,p は a の約数で q は c の約数である」
という重要な定理を認めれば一発で証明できます。
...続きを読む

Aベストアンサー

>入試解答文に記載する際
確実に得点を得たいならば、定理を使わずに答案を作る方が、確実と思います。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング