円順列について、
例えば、a,b,c,dを円形に並べるとき、一つを固定し、残った三つの順列を考えると、並べ方の総数がわかるらしいのですが、なぜ固定して考えると上手くいくのですか?暗記は避けたいです。解説をよろしくお願いします。

A 回答 (3件)

いくつかの並べ方があるときに、それらが異なる並べ方かどうかを調べるためには、並べ方を比較するための基準が必要です。



一列に並べるような場合は、左端を基準にして配列を比較することができます。(左端でなくても可)

円形に並べるときは、a,b,c,d のどれか1個を基準としなければ円形の配列の比較ができません。そこで、例えば a を基準とします。その基準 a に対しての残りの b,c,d の異なる並び方を考えることで、異なる円順列の数が求まります。

「円順列では、1つは基準とし、残りをその基準に対して並べていく」と考えます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2017/09/17 10:00

「円形」ですから、


 A-B-C-D
 B-C-D-A
 C-D-A-B
 D-A-B-C
は「同じ並び順」になります。円形がぐるぐる回って違うように見えるだけです。

だから「1つを固定する」のです。
上の例では、「A」を固定すれば、残った3つは「円でつながっていれば同じ並び順」ですよね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2017/09/17 10:01

下記の解説でご理解いただけるか不安ですが・・・



普通の順列、例えば一直線上にa,b,c,dを並べる場合には一番目、二番目、三番目、四番目があります。
その場合の並べ方の総数は、4×3×2×1と計算しますが、これは並び順の
一番目は4パターン
二番目は(一番目以外の)3パターン
三番目は(一、二番目以外の)2パターン
四番目は(一、二、三番目以外の)1パターン
という全てのパターンを計算することと同じです。

しかし円状に並べる場合には、一番目、二番目、三番目、四番目が「明確に決められません」。
というのも同じ並べ方を見ていても、どこが一番目なのか?二番目なのか?が直線上に並べるときと違って明らかでないためです。

そのため「ここが一番目」と任意に決めてしまいます。
時計で例えれば、数字の書いていない丸時計の「ここが12時」と決めてしまえば、残りの1〜11時の場所は勝手に決まりますよね。
ただ時計と違って、a,b,c,dを円状に並べる全ての総数を求めるならば、固定したもの以外の3つの順番を決める必要があります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2017/09/17 10:01

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