大学受験・微積

a,bを実数の定数とする。二曲線
C1:y=x^2, C2:y=-x^2+ax+b
がある。C2が点(1,2)を通るように動くときC1とC2で囲まれ部分の面積Sの最小値を求めよ。

どういうプロセスで解いていけばいいのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/09/19 18:15

No.1です。

全然間違えてました。

C2が点(1,2)を通るから、2=-1+a+b　よって、b=3-a
つまり、C2はy=-x^2+ax+3-a

C1の式とC2の式を連立させて、
x^2=-x^2+ax+3-a
2x^2-ax+a-3=0
この2解をα、β(ただし、α<β）とおく。
（注：aの値に関わらず、判別式=a^2-4･2･(a-3)=a^2-8a+24=(a-4)^2+8>0なので、α、βは異なる実数）

S=∫[α→β]{x^2-(-x^2+ax+3-a)}dx
=∫[α→β](2x^2-ax+a-3)dx
=(1/6)･2(β-α)^3　　←　1/6公式

ここで、α、βは、[ a±√{a^2-4･2･(a-3)} ]/4 = { a±√(a^2-8a+24) } /4 （ただし、復号のマイナスがα、プラスがβ）
なので、β-α = (1/2)√(a^2-8a+24) = (1/2) (a^2-8a+24)^(1/2)となる。

よって、S = (1/3) (1/8) (a^2-8a+24)^(3/2)
= (1/24) {(a-4)^2+8}^(3/2)
となり、これは、a=4のとき、最小値(2√2)/3をとる。

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2017/09/19 07:33

(1,2)を通ることからaとbの関係が解る。

交点をbで表す。
C2からC1を引いたものを積分。
これでSがbの関数として書ける。
導関数を求めてb-S平面上でグラフの概形を描けば最小値が求まるはず。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/09/19 07:20

C2が点(1,2)を通るから、2=-1+a+b　よって、b=3-a

つまり、C2はy=-x^2+ax+3-a

C1の式とC2の式を連立させて、
x^2=-x^2+ax+3-a
2x^2-ax+a-3=0
この2解をα、β(ただし、α<β）とおく。
（注：aの値に関わらず、判別式=a^2-2(a-3)=a^2-2a+6=(a-1)^2+5>0なので、α、βは異なる実数）

S=∫[α→β]{x^2-(-x^2+ax+3-a)}dx
=∫[α→β](2x^2-ax+a-3)dx
=(1/6)･2(β-α)^3　　←　1/6公式

ここで、α、βは、[ a±√{a^2-2(a-3)} ]/2 = { a±√(a^2-2a+6) } /2 （ただし、復号のマイナスがα、プラスがβ）
なので、β-α = √(a^2-2a+6) = (a^2-2a+6)^(1/2)となる。

よって、S = (1/3) (a^2-2a+6)^(3/2)
= (1/3) {(a-1)^2+5}^(3/2)
となり、これは、a=1のとき、最小値(5√5)/3をとる。