数Bの問題です教えてください

数Bの問題です教えてください

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/09/27 18:09

∴ g(x+1)=(ーx)^k /(ーxー1)

→∴ g(k+1)=(ーx)^k /(ーxー1) に訂正！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/09/21 16:07

部分和分法ですると、公式 ⊿a^x=(aー1)a^x だから ∫ a^x ⊿x=a^x/(aー1) +C 及び

∫ (f(x)・⊿g(x))⊿x=f(x)g(x)ー∫ (⊿f(x)・g(x+1))⊿x …(1)より

f(k)=k ∴ ⊿f(k)=1
⊿g(k)=(ーx)^k-1 ∴ g(k)=∫ (ーx)^k-1 ⊿k=(ーx)^k-1 /(ーxー1) +C
∴ g(x+1)=(ーx)^k /(ーxー1)
(1)の定和分より
［ k・(ーx)^k-1 /(ーxー1)］【k; n+1→1】ー∫ 【1…n】(ーx)^k /(ーxー1) ⊿k
=｛ (n+1)(ーx)^n /(ーxー1) ー1/(ーxー1) ｝ー［(ーx)^k /(ーxー1)^2 ］【k;n+1→1】
=｛ (n+1)(ーx)^n ー1 ｝/(x+1) ー ｛(ーx)^n+1 ー(ーx)｝/(ーxー1)^2
=｛1ー(n+1)(ーx)^n ｝/(x+1) ｝ー｛(ーx)^n+1 ー(ーx)｝/(x+1)^2
=(1/(x+1)^2)・｛1ー(n+1)(ーx)^n｝(x+1)ー(ーx)^n+1 ーx｝

=｛1ー(ーx)^n ・(1＋n+nx) ｝/(x+1)^2
と No1と同じ答えになります！！！

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/09/20 19:10

求める和をS(x)とおくと、

S(x) = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + … + (-1)^(n-1) n x^(n-1)

この両辺に-xを掛けて、

-xS(x) = -x + 2x^2 - 3x^3 + 4x^4 + … + (-1)^(n-1) (n-1) x^(n-1) + (-1)^n n x^n

となり、この2つを辺々引いて、S(x) - {-xS(x)}を求めると、

S(x) - {-xS(x)} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 + … +(-1)^(n-1) x^(n-1) - (-1)^n n x^n

となるが、右辺の『1 - x + x^2 - x^3 + x^4 + … +(-1)^(n-1) x^(n-1)』の部分は、初項1、公比-x、項数nの等比数列の和だから、

1･{1-(-x)^n} / {1-(-x)} = {1 - (-1)^n x^n} / (1+x)

である。つまり、右辺は、

{1 - (-1)^n x^n} / (1+x) - (-1)^n n x^n

となる。

一方、左辺は、 (1+x)S(x)だから、

(1+x)S(x) = {1 - (-1)^n x^n} / (1+x) - (-1)^n n x^n

よって、

S(x) = {1 - (-1)^n x^n} / (1+x)^2 - (-1)^n n x^n / (1+x)

である。

なお、右辺を通分して計算すれば、

{1 - (-1)^n (n+1) x^n - (-1)^n n x^(n+1) } / (1+x)^2

となる。