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至急教えてください!

相似の証明です!
図のABCDで、Pは辺AD上の点で、PBと対角線ACとの交点をQとするとき、△AQP∽△CQBである事を証明しなさい。

で、
△AQPと△CQBにおいて、から始まると思うんですが、対頂角という言葉を使うのでしょうか?
出来れば答えと一緒に説明お願いします!

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gooドクター

A 回答 (3件)

>△AQP∽△CQBである事を証明しなさい。


というこの問題では、四角形ABCDがどんな四角形なのかのの説明が必要です。
例えば、平行四辺形だとか、AD∥BC だとかの説明が書いていないですか?
もし、四角形ABCDが、平行四辺形、またはAD∥BCだとすると、

△AQPと△CQBにおいて、
∠AQP = ∠CQB  (∵対頂角)
∠APQ = ∠CBQ  (∵AD∥BC 錯覚)
∠PAQ = ∠BCQ  (∵AD∥BC 錯覚)
対応する3角が等しい。
∴△AQP∽△CQB
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四角形ABCDが平行四辺形、または AD//BC の台形でないと、△AQPと△CQBとは相似になりません。



AD//BC であれば、
△AQPと△CQBにおいて、
 錯角なので ∠QAP = ∠QCB, ∠QPA = ∠QBC
2つの角が等しいのて、△AQPと△CQBとは相似である。

対頂角なので ∠AQP = ∠CQB という条件を使ってもよいのですが、もう一つの角が等しいことを言うために「錯角」の条件も必要です。だったら、「2つの角」を「錯角」の条件にした方が簡単です。
もちろん「三角形の内角の和は 180°」なので、どの2つの角を「等しい」と述べれば、もう1つの角も等しいということになるので、「2つの角が等しい」なら必然的に「3つの角が等しい」ことになります。
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ABCDが平行四辺形ならば、2つの三角形において角Pが対頂角で等しくて、角Aと角C,角Pと角Bが錯角でそれぞれ等しいので、3つの角が等しいことになり、相似が証明できますね。

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