1
―――――――[exp(3X)cos2X]
D^2-4D+7

という問題なのですが、

y''-4y'+7=exp(3X)cos2X

として、特殊解p(X)を一回微分、二回微分し、それを

p''-4p'+7=[exp(3X)cos2X]

として係数比較する方法以外の方法ってあるんですか?

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (6件)

答が合って良かった良かった。



念のため、ちょっと補足しておきましょう。変数xを含む関数f(x)のラプラス変換L[f(x)]をF(s)とするとき、
L[(Df)(x)] = sF(s)-f(0)
L[((D^2)f)(x)] = (s^2)F(s)-sf(0)-(Df)(0)
L[((D^3)f)(x)] = (s^3)F(s)-(s^2)f(0)-s((Df)(0))-((D^2)f)(0)

という具合です。具体的なfについてのL[f]は岩波の数学公式をはじめ、いろんな公式集・教科書に載ってますね。
特に重要なのを幾つか挙げると
L[c f(x)] = cF(s)
L[exp(a x) f(x)] = F(s-a)
L[f(x/c)] = cF(cs)
L[exp(-a x)] = 1/(s + a)
L[sin ωx] = ω/(s^2 + ω^2)
L[cos ωx] = s/(s^2 + ω^2)
 線形微分方程式を楽ちんに解くテクとして工学系でまず発達して、それで何故旨く行くのか、どこまで手抜きして大丈夫なのか、についてあとからキチンとした数学理論ができたと聞いています。
 ご質問の問題では、Dに掛かっている整数係数が旨く調節してあって、きれいな答が出るように仕組んであるようです。
    • good
    • 0

No3のblue_monkeyです。


No4のstomachman氏の計算結果と異なる結果が得られてしまったので、
blue_monkey計算結果内容を検討した結果、致命的なミスがありました
のでお詫びいたします。その部分を修正すれば、導出した結果は
No4のstomachman氏の計算結果と一致しました。

以下の内容は、No3の内容の修正についての記述ですので、blue_monkey
の導出方法に興味のない場合は無視していただければ幸いです。
*************************************************
修正内容
*************************************************
motusan氏が暗示されている方法に沿って計算を進めます。

まず逆演算子を使うため基礎的な関係式((6)式)を以下のように導出します。
[1/(D-a)]v(x)=y(x)        (1)
は、
v(x)=(D-a)y(x)          (2)
書けます。
常套手段としてy(x)を以下のように置き換えます。
y(x)=exp(a*x)*u(x)        (3)
(3)式を(2)式に代入します。
(D-a)y(x)=(D-a)(exp(a*x)*u(x))
=exp(a*x)*Du(x)=v(x)       (4)
となります。
************************************************
ウキィキィ~、すでにこの時点でNo3の内容でポカミスが発生しています。
ごめんなさい.
************************************************
(4)式の微分方程式の解は(5)式で求まります。
u(x)=∫exp(-a*x')*v(x')dx'        (5)
よって、求める解は(6)式となります。
y(x)=exp(a*x)*∫exp(-a*x')*v(x')dx'   (6)
*************************************
*************************************



次に本題を解きます。
t*t-4*t+7=0 (7)
の解をa,bとします。
motusan氏が暗示されているように逆演算子は次のように因数分解できます。
1/(D*D-4*D+7)=1/(D-a)/(D-b) (8)
本題の式を(9)のように表現させていただきます。
1/(D*D-4*D+7) v(x)=y(x) (9)
(9)式は
y(x)=1/(D-a)/(D-b) v(x)
=1/(a-b)*(1/(D-a)-1/(D-b)) v(x)
となります。この結果を(10)式のように書き換えます。
(a-b)*y(x)=1/(D-a) v(x)-1/(D-b) v(x)
*****************************************
ここでも、マイナスをプラスに誤記していました。
ごめんなさい。
*****************************************
=exp(a*x)*∫exp(-a*x')*v(x')dx'-exp(b*x)*∫exp(-b*x')*v(x')dx' (10)

ここで、虚数単位としてiではなくjで表現させていただきます。
また、計算を簡単(?)に進めるため、オイラーの公式exp(j*x)=cos(x)+j*sin(x)
を利用します。
v(x)=exp(3*x)*cos(2*x)
=exp(3*x)*0.5*(exp(2*j*x)+exp(-2*j*x)) (11)
(11)を(10)に代入すると
(a-b)*y(x)=exp(a*x)*∫exp(-a*x')*v(x')dx'

-exp(b*x)*∫exp(-b*x')*v(x')dx'

=exp(a*x)*∫exp((3-a)*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

-exp(b*x)*∫exp((3-b)*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

=exp(a*x)*(C1+0.5*(exp((1-(3)^0.5*j+2*j)*x)/(3-(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1-(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1-(3)^0.5*j-2*j)))

-exp(b*x)*(C2+0.5*(exp((1+(3)^0.5*j+2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1+(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j-2*j)))

           (12)

C1,C2は定数(複素数)です。
a=2+(3)^0.5*j
b=2-(3)^0.5*j
を用いて、オイラーの公式を用いて、三角関数で表現させ、さらに積分定数を整理すると、
*********************************************************
*********************************************************
y(x)=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+1/(2*(3)^0.5*j)*[0.5*exp((2+(3)^0.5*j)*x)

*(exp((1-(3)^0.5*j+2*j)*x)/(1-(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1-(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1-(3)^0.5*j-2*j))

-0.5*exp((2-(3)^0.5*j)*x)

*(exp((1+(3)^0.5*j+2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1+(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j-2*j))]

=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+1/(2*(3)^0.5)*(exp(3*x)*[-(2-(3)^0.5)*cos(2*x)+sin(2*x)]

/[4*(2-(3)^0.5)]

+exp(3*x)*[(2+(3)^0.5)*cos(2*x)-sin(2*x)]/[4*(2+(3)^0.5)])

上式を整理すると、

=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+1/4*exp(3*x)*sin(2*x)

となります。
    • good
    • 0

stomachman、No.2で、やっぱり計算間違いしました。

とほほ。
(D^2-4D+7)f = exp(3X)cos2X
において、
α=f(0)
β=(Df)(0)
という初期値の自由度を入れるのを忘れちゃった。だからラプラス変換は
(s^2-4s+7)F-(αs+β)-(-4α)=(s-3)/((s-3)^2+4)
が正解です。No.2ではα=β=0にしちゃったのでした。

かくて、
F=(s-3)/[((s-3)^2+4)((s-2)^2+3)]+(α(s-2)+(β-2α))/((s-2)^2+3)
=(1/2)[1/((s-3)^2+4) - 1/((s-2)^2+3)] + α(s-2)/((s-2)^2+3)+(β-2α)/((s-2)^2+3)
=(1/2)/((s-3)^2+4) + α(s-2)/((s-2)^2+3)+(β-2α- 1/2)/((s-2)^2+3)
よって
f=(1/2)L~[1/((s-3)^2+4)] + αL~[(s-2)/((s-2)^2+3)]+(β-2α-1/2)L~[1/((s-2)^2+3)]
そして
L~[1/((s-3)^2+4)] =(1/2)exp(3X)sin(2X)
L~[(s-2)/((s-2)^2+3)]=exp(2X)cos((√3)X)
L~[1/((s-2)^2+3)] =(1/√3)exp(2X)sin((√3)X)
ですから、
f= (1/4)exp(3X)sin(2X) + αexp(2X)cos((√3)X)+((β-2α-1/2)/√3)exp(2X)sin((√3)X)
となります。
A=α
B=((β-2α-1/2)/√3)
と書けば
f= (1/4)exp(3X)sin(2X) + A exp(2X)cos((√3)X)+B exp(2X)sin((√3)X)
ですね。
 今度は合ってるかな。
    • good
    • 0

motusan氏が暗示されている方法に沿って計算を進める結果となってしまいました。

とりあえず以下のように計算してみました(ご参考までに)。


まず逆演算子を使うため基礎的な関係式((6)式)を以下のように導出します。
[1/(D-a)]v(x)=y(x)        (1)
は、
v(x)=(D-a)y(x)          (2)
書けます。
常套手段としてy(x)を以下のように置き換えます。
y(x)=exp(a*x)*u(x)        (3)
(3)式を(2)式に代入します。
(D-a)y(x)=(D-a)(exp(a*x)*u(x))
=Du(x)=v(x)       (4)
となります。(4)式の微分方程式の解は(5)式で求まります。
u(x)=∫v(x')dx'        (5)
よって、求める解は(6)式となります。
y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx'   (6)
*************************************
************************************
以上の結果をまとめると、
[1/(D-a)]v(x)=y(x)        (1)
は、
y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx'     (6)
となります。
*************************************
*************************************
次に本題を解きます。
t*t-4*t+7=0 (7)
の解をa,bとします。
motusan氏が暗示されているように逆演算子は次のように因数分解できます。
1/(D*D-4*D+7)=1/(D-a)/(D-b) (8)
本題の式を(9)のように表現させていただきます。
1/(D*D-4*D+7) v(x)=y(x) (9)
(9)式は
y(x)=1/(D-a)/(D-b) v(x)
=1/(a-b)*(1/(D-a)-1/(D-b)) v(x)
となります。この結果を(10)式のように書き換えます。
(a-b)*y(x)=1/(D-a) v(x)+1/(D-b) v(x)
=exp(a*x)*∫v(x')dx'+exp(b*x)*∫v(x')dx' (10)

ここで、虚数単位としてiではなくjで表現させていただきます。
また、計算を簡単(?)に進めるため、オイラーの公式exp(j*x)=cos(x)+j*sin(x)
を利用します。
v(x)=exp(3*x)*cos(2*x)
=exp(3*x)*0.5*(exp(2*j*x)+exp(-2*j*x)) (11)
(11)を(10)に代入すると
(a-b)*y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx'+exp(b*x)*∫v(x')dx'

=exp(a*x)*∫exp(3*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

+exp(b*x)*∫exp(3*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

=exp(a*x)*(C1+0.5*(exp((3+2*j)*x)/(3+2*j)+exp((3-2*j)*x)/(3-2*j)))+

+exp(b*x)*(C2+0.5*(exp((3+2*j)*x)/(3+2*j)+exp((3-2*j)*x)/(3-2*j)))

           (12)

C1,C2は定数(複素数)です。
a=2+(3)^0.5*j
b=2-(3)^0.5*j
を用いて、オイラーの公式を用いて、三角関数で表現させ、さらに積分定数を整理すると、
*********************************************************
*********************************************************
y(x)=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+(3)^0.5/13*exp(5*x)*cos(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+2/(3)^0.5/13*exp(5*x)*sin(2*x)*sin((3)^0.5*x) (13)

(13)の解が求まります。微分方程式を満足するかどうか、第一項は検算しましたが、第2項以下は検算をしていません。
誤記、計算ミスがあったらゴメンなさい。
    • good
    • 0

演算子法=ラプラス変換、でどうでしょ。

細かいこと言うと違うの?まあ、イー加減なのが演算子の良いところですから。

そうすると、ラプラス変換をL[]と書くことにし、もとの式をfとして、
   1
―――――――[exp(3X)cos2X] = f
D^2-4D+7
この関数fについてF=L[f]とするとき
L[(D^2-4D+7)f]= (s^2 - 4s + 7)F = ((s-2)^2+3)F
一方、exp(3X)cos2Xのラプラス変換は
L[exp(3X)cos2X]=(s-3)/((s-3)^2+4)
でいいかな?従って
F=L[exp(3X)cos2X]/((s-2)^2+3)
=(s-3)/[((s-3)^2+4)((s-2)^2+3)]
= (1/2)[1/((s-3)^2+4) - 1/((s-2)^2+3)]
ですから、L~[]を逆変換として
f= (1/2)(L~[1/((s-3)^2+4)] - L~[1/((s-2)^2+3)])
こうなれば後は簡単ですよね。

 いや、計算間違いはいつもの事ですんで、チェック宜しく。
    • good
    • 0

exp(3X)cos2X={ exp[(3+i2)X] + exp[(3-i2)X] }/2


であることを考えるとなんとなく
(D^2-4D+7)^{-1} = (D-α)^{-1}(D-β)^{-1}
(α、βは定数)
 :
というふうに変形していきたくなるのではないでしょうか?
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q微分演算子について

微分方程式を解くときに微分演算子法が使えることの証明を教えてください。

Aベストアンサー

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B
に丸投げしてもいいんだけどと思いつつ.

1変数多項式が因数分解できることを既知とするなら, 前者は
・微分方程式を「微分多項式」で表現できる
・「微分多項式」の集合が 1変数多項式の集合と環として同型である
の 2つを示せばよく, 上は「微分多項式」の定義から自明なはず. 後者もほぼ自明 (だがいちいちやるとただ面倒).

後者についてはそもそも「微分多項式で何かを割ったりする」という操作をどうとらえるかという問題があって, 単純に形式的な操作と考えればできて当然. その「結果」を得るところまで考えるなら, 「微分多項式で何かを割ったりする操作」の「結果」を定義しなければならないが, おそらくこっちもその定義から自明だと思う.

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q微分方程式の演算子を用いた解法

微分方程式の演算子を用いる解法は知っているのですが、いつもそれを使わずに別の方法で解きます。演算子を用いると他の解法よりすこぶる楽に解ける問題などはあるのでしょうか。演算子法の位置づけを教えてください。

Aベストアンサー

>微分方程式の演算子を用いた解法

というのは、次のサイトで「記号法」と呼ばれている解法のことですか。
http://www.geocities.jp/tc205ki/dfdata/dfeq.html#tr3
それとも、もっと高度な奴への応用を中心に考えておられるのでしょうか?

もしも、このサイトで扱っている範囲+α(このページでは、例としては出ていませんが、高階非同次も、それなりの範囲で、二階非同次の応用で解けます)くらいの話でいいのなら、

使えてありがたいのは、非同次の特(殊)解を求める場合でしょうが、それなりに練習してからでないと、却って時間がかかるが、練習していれば、個別に頭使わなくても、かなり機械的に解けてしまう、練習量が十分なら、かなり高速に、高階になっても、多少、手間が増えるだけ、というあたりが、メリットかと思います。

現状で全然困ってないなら、わざわざ手を出さなくても、と、思いますが、この範囲のことで、苦手なタイプがある、とか、スピードに自信がない、練習に時間かけても、速くなりたいと思えば、意味はあるかと思います。私は、学校や仕事の都合で、微分方程式を解く必要があるのではなく、もっぱら、趣味としての数学の一環でやっていますが、時々、思い出して練習すると、そのときは確実に速くなります。しばらくすると、個別に頭使った方が早いかもくらいになりますが^^(スピードを維持できる程度の普段練習や、多少サボっても、そんなに落ちないレベルまでの練習はしたことがない^^)

微分方程式の教科書には、概念的なことだけ書いていて、すぐに計算練習ができるほど、説明がないものも多いので、そのときは、上記サイトや、
http://www.amazon.co.jp/%E5%B7%A5%E5%AD%A6%E7%B3%BB%E5%AD%A6%E7%94%9F%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7%E6%B3%95%E3%81%A7%E3%81%99%E3%81%90%E3%81%AB%E8%A7%A3%E3%81%91%E3%82%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F-%E9%87%91%E7%94%B0%E6%95%B0%E6%AD%A3%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA-%E9%87%91%E7%94%B0-%E6%95%B0%E6%AD%A3/dp/4753600149
などが参考になると思います。

>微分方程式の演算子を用いた解法

というのは、次のサイトで「記号法」と呼ばれている解法のことですか。
http://www.geocities.jp/tc205ki/dfdata/dfeq.html#tr3
それとも、もっと高度な奴への応用を中心に考えておられるのでしょうか?

もしも、このサイトで扱っている範囲+α(このページでは、例としては出ていませんが、高階非同次も、それなりの範囲で、二階非同次の応用で解けます)くらいの話でいいのなら、

使えてありがたいのは、非同次の特(殊)解を求める場合でしょうが、それなりに練習してからでな...続きを読む

Qx[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

x[k]>0 (k=1,2,…,n)とする。

このとき、
x[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

と予想しましたが、証明できるのでしょうか?

また、
x[1] + x[2] + … + x[n] = 1 とすると、x[1]・x[2]・…・x[n] に関する何らかの不等式はあるのでしょうか?

Aベストアンサー

そのまま相加相乗平均ですね。

( x[1] + x[2] + … + x[n])/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)=1
x[1] + x[2] + … + x[n]≧n

反対も同じです。

1/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)
x[1]・x[2]・…・x[n]≦(1/n)^n

Q微分演算子の平方について

量子力学においては、演算子(作用素)はスカラーと同等と見なされ、また例えば運動量のx方向成分はPx=h/(2πi)(∂/∂x)で表され、エネルギーの次元にするためPxを2乗すると、{h/(2πi)(∂/∂x)}^2={h^2/(4π^2i^2)}{∂^2/(∂x^2)}=-h^2/(4π^2){∂^2/(∂x^2)}となるようですが、{∂/(∂x)}^2=∂^2/(∂x^2)の変形、つまり1階の微分演算子の2乗が2階の微分演算子になる数学的な根拠が分かる方、説明願えればと思います。または、このような変換に付いて分かりやすく説明された文献などをご存知の方、ご紹介ください。

Aベストアンサー

物理量を、波動関数に作用する演算子として表わします。
たとえば、ある物理量[A]を表わす演算子Aが、波動関数ψに作用すると



になります。ここで、ご質問は、[A]の2乗に相当する物理量[B]が、

(Aψ)^2

ではなく、Aを2回作用させた

A(Aψ)

になるのはなぜか、ということだと思います。

物理量[A]の測定で得られる実際の値aは、

Aψ=aψ

という固有値方程式を満たす値となります。ここで、「aの2乗」を値とする物理量[B]を考えますと、これも固有値方程式を満たさなければなりませんので、

Bψ=(a^2)ψ

さて、Aψ=aψの両辺にもう一度Aを作用させると

A(Aψ)=A(aψ)

aは定数ですから、A(aψ)=a(Aψ)、よって

A(Aψ)=A(aψ)=a(Aψ)=a(aψ)=(a^2)ψ

つまり、B=AA(AAとはAを2回作用させること)とすると、(a^2)はBの固有値になります。

Q条件x[1]=1,x[n+1]=x[n]+・・・

(1)条件x[1]=1,x[n+1]=x[n]+2^2(n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{xn}の一般項はx[n]=□である。

(2)条件y[1]=4/3, 1/y[n+1]=4/y[n] + 3/4 (n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{yn}の

一般項はy[n]=□である。


漸化式の問題です。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)前の項に4足していく数列は等差数列
公式よりx[n]=1+(n-1)*4=4n-3

(2)1/y[n]を数列b[n]と考えると
b[n+1]=4b[n] + 3/4
b[n]、b[n+1]をある定数cと考えると
c=4c+3/4
3c=-3/4
c=-1/4
よってb[n+1]=4b[n] + 3/4は
b[n+1] + 1/4=4(b[n] + 1/4)と書き換えられる
b[n] + 1/4をc[n]という数列と考えると
c[n+1]=4c[n]
等比数列になっている
b[1]は3/4だからc[1]は1
公比は4
よってc[n]=1・4^(n-1)=4^(n-1)
c[n]=b[n] + 1/4だから
b[n] + 1/4=4^(n-1)
b[n]=4^(n-1) - 1/4
b[n]=1/y[n]だから
1/y[n]=4^(n-1) - 1/4=4^n/4 - 1/4=(4^n - 1)/4
y[n]=4/(4^n - 1)

間違ってたら申し訳ない

Q微分方程式の演算子法を用いた解法について

微分方程式の演算子法を用いた解法についての質問です。
Y'' + Y = X^2 + 1
を演算子法を用いて解く場合、
(D^2 + 1)*Y = X^2 + 1⇔Y=(D^2 + 1)^(-1) * (X^2+1)
からどのような公式を用いて解けばよいのか、演算子法自体について理解が浅いのもあって分かりません。どなたか教えていただけませんでしょうか。

Aベストアンサー

すぐに作れる公式(覚える必要がない)
D・exp(a・X)・Y=exp(a・X)・D・Y+exp(a・X)・a・exp(a・X)・Y
より
exp(-a・X)・D・exp(a・X)・Y=(D+a)・Y



(D^2+1)・Y=X^2+1
(D+i)・(D-i)・Y=X^2+1
exp(-i・X)・D・exp(i・X)・exp(i・X)・D・exp(-i・X)・Y=X^2+1
D・exp(2・i・X)・D・exp(-i・X)・Y=exp(-i・X)・X^2+1
exp(2・i・X)・D・exp(-i・X)・Y=・・・
D・exp(-i・X)・Y=・・・
exp(-i・X)・Y=・・・
Y=・・・



・・・以降を補足に書け

Qlim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1)は?

lim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、x の代わりに(x+1)にした場合:
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1) どうなりますか?
たぶん e だとは思うのですが。解き方も教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>y^(n+1)/y^n や (n+1)y/ny なんかだと+1が生きてきますよね。
そのとおり、+1を無視するわけにいきません。また、先の回答が+1を無視しているわけでもありません。
この問題を少し変えて、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)
とすれば、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)=lim_[x→∞](1+1/x)^x *(1+1/x)=e
(∵ x→∞ のとき(1+1/x)^x→e ,(1+1/x)→1)

lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x
とすれば、y=x+1 とおいて
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x=lim_[y→∞](1+1/y)^(y-1)=lim_[y→∞](1+1/y)^y /(1+1/y)=e
(∵ y→∞ のとき(1+1/y)^y→e ,(1+1/y)→1)

結果は同じeですが、途中で+1を無視せずに解答する必要があるでしょう。

Q微分演算子でわからないんですが・・・

つまずいているのですが
(1)逆演算子で、[x^2 +3]/D を解くということは積分すればいいのでx^3/3 +3xという答えになるのですがなんで積分定数Cはつけないのでしょうか?
(2)わからない問題があるのですが、
(D+1)^2 y=x という微分演算子の微分方程式の問題なのですが、
D=-1(重解)より、同次方程式の基本解は{e^-x ,xe^-x}となる。
特殊解をv(x)とし、(D+1)^2 [v(x)]=x よりv(x)を求める。
 v(x)=1・[x]/(D+1)^2
・・・というところまでしか解けません。逆演算子の公式に当てはまらない場合はどのように求めればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

(2)の特殊解を求める問題で「逆演算子の公式に当てはまらない」とありますが、逆演算子の展開はご存知ですか?

1/(1+aD)=1-(aD)^2+(aD)^3-(aD)^4+ …
1/(1-aD)=1+(aD)^2+(aD)^3+(aD)^4+ …

という感じです。これより、
[1/(1+D)]・[1/(1+D)]x
=[1/(1+D)]・(1-D+D^2-…)x
=[1/(1+D)]・(x-Dx+D^2x-…)
=[1/(1+D)]・(x-1)
=(1-D+D^2-…)(x-1)
=x-1-1
=x-1

(D+1)^2 y=xの一般解は
y=(A+Bx)e^-x +(x-1)

Q∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ)+ s(g,Δ)=Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,Δ)同様にS(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) だから、inf(S(f,Δ))=sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))=sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))=sup(s(f+g,Δ))=、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません(その前までは理解できました)。行間を埋めていただけるとありがたいです。

s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

...続きを読む

Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i-1))+inf(f)(xi-yj)の方が大きくなる。
sup(f)では逆に小さくなる。
(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
辺々足して、
s(f,Δ1)+s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)+s(g,Δ3)
≦s(f+g,Δ3)≦sup(s(f+g,Δ))←これは、あらゆる分割Δに対するsup
という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
ください。

このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
s(f,Δ1)、s(g,Δ2)それぞれであらゆる分割を考えて、
sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))

infのほうも同様です。

本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
だと絶賛していましたが・・・
おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i...続きを読む


人気Q&Aランキング