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―――――――[exp(3X)cos2X]
D^2-4D+7

という問題なのですが、

y''-4y'+7=exp(3X)cos2X

として、特殊解p(X)を一回微分、二回微分し、それを

p''-4p'+7=[exp(3X)cos2X]

として係数比較する方法以外の方法ってあるんですか?

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A 回答 (6件)

答が合って良かった良かった。



念のため、ちょっと補足しておきましょう。変数xを含む関数f(x)のラプラス変換L[f(x)]をF(s)とするとき、
L[(Df)(x)] = sF(s)-f(0)
L[((D^2)f)(x)] = (s^2)F(s)-sf(0)-(Df)(0)
L[((D^3)f)(x)] = (s^3)F(s)-(s^2)f(0)-s((Df)(0))-((D^2)f)(0)

という具合です。具体的なfについてのL[f]は岩波の数学公式をはじめ、いろんな公式集・教科書に載ってますね。
特に重要なのを幾つか挙げると
L[c f(x)] = cF(s)
L[exp(a x) f(x)] = F(s-a)
L[f(x/c)] = cF(cs)
L[exp(-a x)] = 1/(s + a)
L[sin ωx] = ω/(s^2 + ω^2)
L[cos ωx] = s/(s^2 + ω^2)
 線形微分方程式を楽ちんに解くテクとして工学系でまず発達して、それで何故旨く行くのか、どこまで手抜きして大丈夫なのか、についてあとからキチンとした数学理論ができたと聞いています。
 ご質問の問題では、Dに掛かっている整数係数が旨く調節してあって、きれいな答が出るように仕組んであるようです。
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No3のblue_monkeyです。


No4のstomachman氏の計算結果と異なる結果が得られてしまったので、
blue_monkey計算結果内容を検討した結果、致命的なミスがありました
のでお詫びいたします。その部分を修正すれば、導出した結果は
No4のstomachman氏の計算結果と一致しました。

以下の内容は、No3の内容の修正についての記述ですので、blue_monkey
の導出方法に興味のない場合は無視していただければ幸いです。
*************************************************
修正内容
*************************************************
motusan氏が暗示されている方法に沿って計算を進めます。

まず逆演算子を使うため基礎的な関係式((6)式)を以下のように導出します。
[1/(D-a)]v(x)=y(x)        (1)
は、
v(x)=(D-a)y(x)          (2)
書けます。
常套手段としてy(x)を以下のように置き換えます。
y(x)=exp(a*x)*u(x)        (3)
(3)式を(2)式に代入します。
(D-a)y(x)=(D-a)(exp(a*x)*u(x))
=exp(a*x)*Du(x)=v(x)       (4)
となります。
************************************************
ウキィキィ~、すでにこの時点でNo3の内容でポカミスが発生しています。
ごめんなさい.
************************************************
(4)式の微分方程式の解は(5)式で求まります。
u(x)=∫exp(-a*x')*v(x')dx'        (5)
よって、求める解は(6)式となります。
y(x)=exp(a*x)*∫exp(-a*x')*v(x')dx'   (6)
*************************************
*************************************



次に本題を解きます。
t*t-4*t+7=0 (7)
の解をa,bとします。
motusan氏が暗示されているように逆演算子は次のように因数分解できます。
1/(D*D-4*D+7)=1/(D-a)/(D-b) (8)
本題の式を(9)のように表現させていただきます。
1/(D*D-4*D+7) v(x)=y(x) (9)
(9)式は
y(x)=1/(D-a)/(D-b) v(x)
=1/(a-b)*(1/(D-a)-1/(D-b)) v(x)
となります。この結果を(10)式のように書き換えます。
(a-b)*y(x)=1/(D-a) v(x)-1/(D-b) v(x)
*****************************************
ここでも、マイナスをプラスに誤記していました。
ごめんなさい。
*****************************************
=exp(a*x)*∫exp(-a*x')*v(x')dx'-exp(b*x)*∫exp(-b*x')*v(x')dx' (10)

ここで、虚数単位としてiではなくjで表現させていただきます。
また、計算を簡単(?)に進めるため、オイラーの公式exp(j*x)=cos(x)+j*sin(x)
を利用します。
v(x)=exp(3*x)*cos(2*x)
=exp(3*x)*0.5*(exp(2*j*x)+exp(-2*j*x)) (11)
(11)を(10)に代入すると
(a-b)*y(x)=exp(a*x)*∫exp(-a*x')*v(x')dx'

-exp(b*x)*∫exp(-b*x')*v(x')dx'

=exp(a*x)*∫exp((3-a)*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

-exp(b*x)*∫exp((3-b)*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

=exp(a*x)*(C1+0.5*(exp((1-(3)^0.5*j+2*j)*x)/(3-(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1-(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1-(3)^0.5*j-2*j)))

-exp(b*x)*(C2+0.5*(exp((1+(3)^0.5*j+2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1+(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j-2*j)))

           (12)

C1,C2は定数(複素数)です。
a=2+(3)^0.5*j
b=2-(3)^0.5*j
を用いて、オイラーの公式を用いて、三角関数で表現させ、さらに積分定数を整理すると、
*********************************************************
*********************************************************
y(x)=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+1/(2*(3)^0.5*j)*[0.5*exp((2+(3)^0.5*j)*x)

*(exp((1-(3)^0.5*j+2*j)*x)/(1-(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1-(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1-(3)^0.5*j-2*j))

-0.5*exp((2-(3)^0.5*j)*x)

*(exp((1+(3)^0.5*j+2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j+2*j)

+exp((1+(3)^0.5*j-2*j)*x)/(1+(3)^0.5*j-2*j))]

=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+1/(2*(3)^0.5)*(exp(3*x)*[-(2-(3)^0.5)*cos(2*x)+sin(2*x)]

/[4*(2-(3)^0.5)]

+exp(3*x)*[(2+(3)^0.5)*cos(2*x)-sin(2*x)]/[4*(2+(3)^0.5)])

上式を整理すると、

=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+1/4*exp(3*x)*sin(2*x)

となります。
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stomachman、No.2で、やっぱり計算間違いしました。

とほほ。
(D^2-4D+7)f = exp(3X)cos2X
において、
α=f(0)
β=(Df)(0)
という初期値の自由度を入れるのを忘れちゃった。だからラプラス変換は
(s^2-4s+7)F-(αs+β)-(-4α)=(s-3)/((s-3)^2+4)
が正解です。No.2ではα=β=0にしちゃったのでした。

かくて、
F=(s-3)/[((s-3)^2+4)((s-2)^2+3)]+(α(s-2)+(β-2α))/((s-2)^2+3)
=(1/2)[1/((s-3)^2+4) - 1/((s-2)^2+3)] + α(s-2)/((s-2)^2+3)+(β-2α)/((s-2)^2+3)
=(1/2)/((s-3)^2+4) + α(s-2)/((s-2)^2+3)+(β-2α- 1/2)/((s-2)^2+3)
よって
f=(1/2)L~[1/((s-3)^2+4)] + αL~[(s-2)/((s-2)^2+3)]+(β-2α-1/2)L~[1/((s-2)^2+3)]
そして
L~[1/((s-3)^2+4)] =(1/2)exp(3X)sin(2X)
L~[(s-2)/((s-2)^2+3)]=exp(2X)cos((√3)X)
L~[1/((s-2)^2+3)] =(1/√3)exp(2X)sin((√3)X)
ですから、
f= (1/4)exp(3X)sin(2X) + αexp(2X)cos((√3)X)+((β-2α-1/2)/√3)exp(2X)sin((√3)X)
となります。
A=α
B=((β-2α-1/2)/√3)
と書けば
f= (1/4)exp(3X)sin(2X) + A exp(2X)cos((√3)X)+B exp(2X)sin((√3)X)
ですね。
 今度は合ってるかな。
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motusan氏が暗示されている方法に沿って計算を進める結果となってしまいました。

とりあえず以下のように計算してみました(ご参考までに)。


まず逆演算子を使うため基礎的な関係式((6)式)を以下のように導出します。
[1/(D-a)]v(x)=y(x)        (1)
は、
v(x)=(D-a)y(x)          (2)
書けます。
常套手段としてy(x)を以下のように置き換えます。
y(x)=exp(a*x)*u(x)        (3)
(3)式を(2)式に代入します。
(D-a)y(x)=(D-a)(exp(a*x)*u(x))
=Du(x)=v(x)       (4)
となります。(4)式の微分方程式の解は(5)式で求まります。
u(x)=∫v(x')dx'        (5)
よって、求める解は(6)式となります。
y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx'   (6)
*************************************
************************************
以上の結果をまとめると、
[1/(D-a)]v(x)=y(x)        (1)
は、
y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx'     (6)
となります。
*************************************
*************************************
次に本題を解きます。
t*t-4*t+7=0 (7)
の解をa,bとします。
motusan氏が暗示されているように逆演算子は次のように因数分解できます。
1/(D*D-4*D+7)=1/(D-a)/(D-b) (8)
本題の式を(9)のように表現させていただきます。
1/(D*D-4*D+7) v(x)=y(x) (9)
(9)式は
y(x)=1/(D-a)/(D-b) v(x)
=1/(a-b)*(1/(D-a)-1/(D-b)) v(x)
となります。この結果を(10)式のように書き換えます。
(a-b)*y(x)=1/(D-a) v(x)+1/(D-b) v(x)
=exp(a*x)*∫v(x')dx'+exp(b*x)*∫v(x')dx' (10)

ここで、虚数単位としてiではなくjで表現させていただきます。
また、計算を簡単(?)に進めるため、オイラーの公式exp(j*x)=cos(x)+j*sin(x)
を利用します。
v(x)=exp(3*x)*cos(2*x)
=exp(3*x)*0.5*(exp(2*j*x)+exp(-2*j*x)) (11)
(11)を(10)に代入すると
(a-b)*y(x)=exp(a*x)*∫v(x')dx'+exp(b*x)*∫v(x')dx'

=exp(a*x)*∫exp(3*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

+exp(b*x)*∫exp(3*x')*0.5*(exp(2*j*x')+exp(-2*j*x))dx'

=exp(a*x)*(C1+0.5*(exp((3+2*j)*x)/(3+2*j)+exp((3-2*j)*x)/(3-2*j)))+

+exp(b*x)*(C2+0.5*(exp((3+2*j)*x)/(3+2*j)+exp((3-2*j)*x)/(3-2*j)))

           (12)

C1,C2は定数(複素数)です。
a=2+(3)^0.5*j
b=2-(3)^0.5*j
を用いて、オイラーの公式を用いて、三角関数で表現させ、さらに積分定数を整理すると、
*********************************************************
*********************************************************
y(x)=A*exp(2*x)*cos((3)^0.5*x)+B*exp(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+(3)^0.5/13*exp(5*x)*cos(2*x)*sin((3)^0.5*x)

+2/(3)^0.5/13*exp(5*x)*sin(2*x)*sin((3)^0.5*x) (13)

(13)の解が求まります。微分方程式を満足するかどうか、第一項は検算しましたが、第2項以下は検算をしていません。
誤記、計算ミスがあったらゴメンなさい。
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演算子法=ラプラス変換、でどうでしょ。

細かいこと言うと違うの?まあ、イー加減なのが演算子の良いところですから。

そうすると、ラプラス変換をL[]と書くことにし、もとの式をfとして、
   1
―――――――[exp(3X)cos2X] = f
D^2-4D+7
この関数fについてF=L[f]とするとき
L[(D^2-4D+7)f]= (s^2 - 4s + 7)F = ((s-2)^2+3)F
一方、exp(3X)cos2Xのラプラス変換は
L[exp(3X)cos2X]=(s-3)/((s-3)^2+4)
でいいかな?従って
F=L[exp(3X)cos2X]/((s-2)^2+3)
=(s-3)/[((s-3)^2+4)((s-2)^2+3)]
= (1/2)[1/((s-3)^2+4) - 1/((s-2)^2+3)]
ですから、L~[]を逆変換として
f= (1/2)(L~[1/((s-3)^2+4)] - L~[1/((s-2)^2+3)])
こうなれば後は簡単ですよね。

 いや、計算間違いはいつもの事ですんで、チェック宜しく。
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exp(3X)cos2X={ exp[(3+i2)X] + exp[(3-i2)X] }/2


であることを考えるとなんとなく
(D^2-4D+7)^{-1} = (D-α)^{-1}(D-β)^{-1}
(α、βは定数)
 :
というふうに変形していきたくなるのではないでしょうか?
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問題は

(1) (D^4+2D^2+1)y=x*sin(x)
(2) y'''-2y'+4y=(e^x)*cos(x)

Dy=y'=dy/dxです。

私の持っている本では、定係数非同次線形常微分方程式をΦ(D)y=f(x)と表したときに、Φ(D)が既約実2次式を持つ場合、非同次項f(x)が
・多項式
・e^(ax)
・cos(ax)
・sin(ax)
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Aベストアンサー

(1) (D^4+2D^2+1)y=x・sin(x)
(2) y'''-2y'+4y=(e^x)・cos(x)

(1) D^4+2D^2+1 = (D-i)^2・(D+i)^2 (・は掛け算の意)
余関数はy1 = (a1+a2・x)・cosx+(b1+b2・x)・sinx
特殊解y2は
y2 = x・sin(x)/(D^4+2D^2+1) = x・sin(x)/(D^2+1)^2
= 1/2・(sinx・∫{cosx・xsinx{dx-cosx・∫{sinx・xsinx}dx)
-1/2・(cosx・∫{∫{cosx・xsinx}dx}dx) + sinx・∫{∫{sinx・xsinx}dx}dx)
面倒なので後は計算してみて・・・!
一般解 = 余関数+特殊解 だから
y = y1+y2

(2) (D^3-2D+4)y = (e^x)・cos(x)
(D^3-2D+4) = (D+2)(D^2-2D+2) D = -2,1±i
余関数y1は
y1 = c1・e^(-2x)+e^x・(c2・sinx+c3・cosx)
特殊解y2は
y2 = (e^x)・cos(x)/(D^3-2D+4)
= 1/10・(1/(D+2)-(D-4)/(D^2-2D+2)) ・(e^x)・cos(x)
= 1/10・(1/(D+2)-D/((D-1)^2+1)+4・(1/((D-1)^2+1))・(e^x)・cos(x)
= 1/10・{e^(-2x)・∫{e^(2x)・(e^x)・cos(x)}dx
-(e^x・{(sinx+cosx)・∫{e^(-x)cosx・(e^x)・cos(x)}dx-(cosx-sinx)・∫{e^(-x)sinx・(e^x)・cos(x)}dx})
+4・(e^x・sinx・∫{e^(-x)・cosx・(e^x)・cos(x)}dx-e^x・cosx・∫{e^(-x)・sinx・(e^x)・cos(x)}dx)}
面倒なので後は計算してみて・・・!
y = y1+y2
  

(1) (D^4+2D^2+1)y=x・sin(x)
(2) y'''-2y'+4y=(e^x)・cos(x)

(1) D^4+2D^2+1 = (D-i)^2・(D+i)^2 (・は掛け算の意)
余関数はy1 = (a1+a2・x)・cosx+(b1+b2・x)・sinx
特殊解y2は
y2 = x・sin(x)/(D^4+2D^2+1) = x・sin(x)/(D^2+1)^2
= 1/2・(sinx・∫{cosx・xsinx{dx-cosx・∫{sinx・xsinx}dx)
-1/2・(cosx・∫{∫{cosx・xsinx}dx}dx) + sinx・∫{∫{sinx・xsinx}dx}dx)
面倒なので後は計算してみて・・・!
一般解 = 余関数+特殊解 だから
y = y1+y2

(2) (D^3-2D+4)y = (e^x)・cos(x)
(D^3-2D+4) = (D+2)(D...続きを読む

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
( 13 9 )

の2x2行列で固有値を求めると 1±2i になると思いますが

Av = λv の形で固有ベクトルを求めようとすると

( -8 + 2i ) x - 5 y = 0
13 x + ( 8 + 2i ) y = 0

の形になり、その先を求めることが出来ません。
何度も計算したので最後の2つの式は間違いは無いと思うのですが、
固有値が複素数の時は、Av = λv の方法で計算することは出来ないということでしょうか?
またどのように計算できるのでしょうか?
お知恵をお貸しいただければ幸いです。

Aベストアンサー

固有値は1±iになるかと…

そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます.

Q微分方程式の演算子を用いた解法

微分方程式の演算子を用いる解法は知っているのですが、いつもそれを使わずに別の方法で解きます。演算子を用いると他の解法よりすこぶる楽に解ける問題などはあるのでしょうか。演算子法の位置づけを教えてください。

Aベストアンサー

>微分方程式の演算子を用いた解法

というのは、次のサイトで「記号法」と呼ばれている解法のことですか。
http://www.geocities.jp/tc205ki/dfdata/dfeq.html#tr3
それとも、もっと高度な奴への応用を中心に考えておられるのでしょうか?

もしも、このサイトで扱っている範囲+α(このページでは、例としては出ていませんが、高階非同次も、それなりの範囲で、二階非同次の応用で解けます)くらいの話でいいのなら、

使えてありがたいのは、非同次の特(殊)解を求める場合でしょうが、それなりに練習してからでないと、却って時間がかかるが、練習していれば、個別に頭使わなくても、かなり機械的に解けてしまう、練習量が十分なら、かなり高速に、高階になっても、多少、手間が増えるだけ、というあたりが、メリットかと思います。

現状で全然困ってないなら、わざわざ手を出さなくても、と、思いますが、この範囲のことで、苦手なタイプがある、とか、スピードに自信がない、練習に時間かけても、速くなりたいと思えば、意味はあるかと思います。私は、学校や仕事の都合で、微分方程式を解く必要があるのではなく、もっぱら、趣味としての数学の一環でやっていますが、時々、思い出して練習すると、そのときは確実に速くなります。しばらくすると、個別に頭使った方が早いかもくらいになりますが^^(スピードを維持できる程度の普段練習や、多少サボっても、そんなに落ちないレベルまでの練習はしたことがない^^)

微分方程式の教科書には、概念的なことだけ書いていて、すぐに計算練習ができるほど、説明がないものも多いので、そのときは、上記サイトや、
http://www.amazon.co.jp/%E5%B7%A5%E5%AD%A6%E7%B3%BB%E5%AD%A6%E7%94%9F%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7%E6%B3%95%E3%81%A7%E3%81%99%E3%81%90%E3%81%AB%E8%A7%A3%E3%81%91%E3%82%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F-%E9%87%91%E7%94%B0%E6%95%B0%E6%AD%A3%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA-%E9%87%91%E7%94%B0-%E6%95%B0%E6%AD%A3/dp/4753600149
などが参考になると思います。

>微分方程式の演算子を用いた解法

というのは、次のサイトで「記号法」と呼ばれている解法のことですか。
http://www.geocities.jp/tc205ki/dfdata/dfeq.html#tr3
それとも、もっと高度な奴への応用を中心に考えておられるのでしょうか?

もしも、このサイトで扱っている範囲+α(このページでは、例としては出ていませんが、高階非同次も、それなりの範囲で、二階非同次の応用で解けます)くらいの話でいいのなら、

使えてありがたいのは、非同次の特(殊)解を求める場合でしょうが、それなりに練習してからでな...続きを読む

Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T (積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q:熱 w:仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi~pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、=になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T+nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃:(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数...続きを読む

Q線形・非線形って何ですか?

既に同じようなテーマで質問が出ておりますが、
再度お聞きしたく質問します。

※既に出ている質問
『質問:線形、非線型ってどういう意味ですか?』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;


1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。


勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間+歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=A(一定)

という規則が成り立つからです。

xやyの例としては昨日の例で言う例1だとxがガムの個数、yが全体の金額、例2だとxが時間、yが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

(yの増加量)=A×(xの増加量)・・(1)

ということがわかります。つまり、Aの値さえわかれば、xが増えたときのyの値が容易に推測できるようになるわけです。


ここで「Aの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて(下に落ちるにつれて)落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、1秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。(ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです)

数学の問題のように初めから「時速100kmで走る」とか「1個100円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Aの値さえわかれば」の「A」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。(ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか??)つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。(これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です)つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。


では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか?実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが(もちろん単なる線形よりは難しいですが)できるようになるわけです。


これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。(つまり、非線形のものが多いんです)

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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