二次関数のグラフについて。二次関数のグラフのx^2の係数が、正のとき下に凸、負のとき上に凸、と例外

Question

二次関数のグラフについて。

二次関数のグラフのx^2の係数が、正のとき下に凸、負のとき上に凸、と例外なく成り立つのはなぜですか？

akashianoki · Accepted Answer

いちばん単純なグラフから考えると分かります。
　ｙ＝ｘ^２が下に凸です。理由はｘが正の範囲で、ｙは２乗してどんどんと増えます。だからはじめはゆっくり、しだいに急カーブを描いたグラフになります。ｘが負の範囲ではグラフの形が逆になります。それを合成すると下に凸の放物線になります。（y軸に対象）
次にｙ＝ax^2のグラフを考えます。このｙの値はx^2のa倍です。つまりaが2,3,4…のように正の数の場合は、そのまま2倍、3倍、4倍…と大きな値なっていきます。そこでｙ＝ｘ^２より細い放物線になりますが、下に凸の放物線には変わりありません。ところがaが負の数の場合は、同じa倍でもyの値は負の数になります。これは正の数に負の数をかけると必ず負の数になる原理ですね。だからaが-2,-3,-4…のように負の数のときは、ｙの値がすべて負の数にひっくり返って負の数になってしまいます。そこでグラフは上に凸の放物線になるのです。（ｘ軸に対称）
ここまでが理解できたでしょうか。まとめると、どんなときもｙ＝ax^2のグラフはaが正のときは下に凸で、負のときは上に凸となります。
　もっと一般化したｙ＝ax^2+bx+cのグラフは、y=ax^2のグラフが平行移動しただけです。だからaが正のときは下に凸で、負のときは上に凸となります。「平行移動しただけ」という理由の説明は座標変換という考え方を使います。もう少し説明すると、y=ax^2のグラフをｘ方向に－(ｂ／２ａ)、ｙ方向に－(ｂ²／４ａ)＋ｃに移動させただけだからです。（座標軸の変換）
　ご質問の説明には、グラフの対称性と座標軸の変換という二つの考え方が基礎になっています。そこをふまえて考えれば理解できると思います。

tekcycle · Answer

二次関数のグラフって、二つしか無いんです。
正の物と負の物。勿論、厳密に言えば、これだって同じ物ですが。
全部、ｙ＝ａｘ²を平行移動した物、なんです。少なくとも実数領域に於いては。
ａが正に大きいと縦に細長くなり、正で小さいと横に潰れたっぽくなったり、更にａが負になると、上下ひっくり返るのです。
全部これを平行移動した図形なんです。

ｙ＝ａx²＋ｂｘ＋ｃ
という式は、
　＝ａ{x²＋(ｂ／ａ)ｘ}＋ｃ
　＝ａ{x＋(ｂ／２ａ)}²－(ｂ²／４ａ)＋ｃ
で、つまり、ｙ＝ａｘ²を、ｘ方向に－(ｂ／２ａ)、ｙ方向に－(ｂ²／４ａ)＋ｃだけ平行移動した物、なのです。
だから、グラフの形状自体は、ｙ＝ａｘ²で決まってしまうのです。

ｙ＝ａx²＋ｂｘ＋ｃは、ｙ＝ａｘ²とｙ＝ｂｘ＋ｃを足し合わせた物です。
二次式に、一生懸命一次式を足し併せても、いくらｂやｃの絶対値を大きくしても、グラフの形状には一切影響しない、のです。

クソgooは死ね · Answer

>a > 0 のとき, s < x < t であるすべての x に対して, f(x) < g(x) が成り立ちます.

>つまり, s < x < t の範囲では, 直線が放物線の上側にあるので, 放物線は下に凸です.
この書き方, よろしくないですね.
このような s と t が存在すれば, s < x < t の範囲で f(x) は下に凸, と解釈される.

実際に書きたかったのは,
a > 0 のとき, s < x < t であるすべての s, t, x に対して, f(x) < g(x) が成り立つ.
よって, f(x) は R において下に凸, ということです.

大変失礼致しました.

クソgooは死ね · Answer

a ≠ 0 として, f(x) = a(x - p)^2 + q でも, f(x) = ax^2 + bx + c でも, どちらでもいい.
s < t として, 放物線 y = f(x) 上の 2 点 A(s, f(s)), B(t, f(t)) をとり, 直線 AB の方程式を y = g(x) とする.
f(x) - g(x) = a(x - s)(x - t) となることを, 計算により自分で確認してください.

a > 0 のとき, s < x < t であるすべての x に対して, f(x) < g(x) が成り立ちます.
つまり, s < x < t の範囲では, 直線が放物線の上側にあるので, 放物線は下に凸です.

a < 0 の場合はどうなるか, 自分で考えてください.

springside · Answer

「xが変化したときのyの値をグラフとして描いたらそうなる」というだけの話。
「結果としてグラフがそうなる」というごく当然のことなので、「なぜ」も何もない。
つまり、質問していること自体が意味不明だし、質問の意義すら全くない。

むらさめ · Answer

二次関数のグラフの式は
y=ax^2+bx+c　という一般形をへんけいした
y＝a(x-p)^2+q　という基本形というものがあります。
この基本形では座標(p,q)が、放物線の頂点となり、x=pが放物線の軸となります。

この基本形をよく観ると、
y＝a(x-p)^2+q
(x-p)の値が正負に関わらず、(x-p)^2となっているので(x-p)^2は正の値を持ち，x=pで極値(頂点の座標)のy=qとなります。
この時に下に凸か上に凸かを決めるのは、(x-p)^2の係数aということになります。

でも、もう少し詳しくこのような二次関数や三次関数の極値や凸凹の性質を知るためには、そのうち習う微分の知識がになってきます。

二次関数のグラフについて。 二次関数のグラフのx^2の係数が、正のとき下に凸、負のとき上に凸、と例外

いちばん単純なグラフから考えると分かります。

二次関数のグラフって、二つしか無いんです。

>a > 0 のとき, s < x < t であるすべての x に対して, f(x) < g(x) が成り立ちます.

a ≠ 0 として, f(x) = a(x - p)^2 + q でも, f(x) = ax^2 + bx + c でも, どちらでもいい.

「xが変化したときのyの値をグラフとして描いたらそうなる」というだけの話。

二次関数のグラフの式は

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