高校の数学についてです。 サイコロをn回振って出る目の数の列で、偶数のどの目も少なくとも一回でるもの

高校の数学についてです。

サイコロをn回振って出る目の数の列で、偶数のどの目も少なくとも一回でるものは何通りあるかという問題で写真のような求め方になる理由を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/10/03 15:46

これは、場合の数を数えるときに、まっとうに数えるのではなく「余事象」の数を数えて、全体の数から引くという方法ですね。

たとえば、「１が１回以上出るもの」を数えるのに、「１が１回も出ないもの」を数えて全体から引くようなやり方です。

ここでは「偶数のどの目も少なくとも一回出る」（つまり、２、４、６がいずれも１回以上出る）数を数えるのですが、その余事象である「偶数のいずれか１つ以上が一回も出ない」数を数えて、全体の数（= 6^n）から引こうというものです。

「偶数のいずれか１つ以上が一回も出ない」ものは
①「２」が１回も出ない：5^n　　
②「４」が１回も出ない：5^n
③「６」が１回も出ない：5^n
なので、合わせると「 3 * 5^n 」なのですが、①には「４が１回も出ない」「６が１回も出ない」ものも含んでいるので、単純に加算すると「ダブルカウント」になってしまいます。②③も同様です。

ということで、ダブルカウントしている
④「２、４」とも１回も出ない：n^4
⑤「２、６」とも１回も出ない：n^4
⑥「４、６」とも１回も出ない：n^4
の合計「 3 * n^4 」を差し引くのですが、するとこの中にはすべて「２、４、６とも１回も出ない」場合を含んでいるので、①～③からすべて削除してしまうことになります。

ということで、トリプルカウントしていた
⑦「２、４、６とも１回も出ない」：n^3
を再度戻します。

ということで、「偶数のいずれか１つ以上が一回も出ない」場合の数は
　(① + ② + ③) - (④ + ④+ ⑥) + ⑦ = 3 * 5^n - 3 * 4^n + 3^n

これが「余事象」の数なので、おおもとの「偶数のどの目も少なくとも一回出る」場合の数は、全体の数 6^n からこれを引きます。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/10/04 10:30

No.2 回答者： ji6 回答日時： 2017/10/04 00:08

図を添付しました。