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複素解析の本に
『複素数の絶対値の性質から明らかなように、複素数z, z'に対してd(z,z') = | z' - z | とすれば、dはC上の'距離関数'を与える:
(M1) d(z, z')≧0; d(z, z') = 0 は z = z' の時に限る
(M2) d(z, z') = d(z', z)
(M3) d(z, z'') ≦ d(z, z') + d(z', z'')
したがってCは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され、それを元に極限、連続性などの議論を進めることが出来る。』

とあったのですが、位相ってなんですか?

実は前にもちょっと似た質問をしたことがあってその時はトポロジーの和訳、くらいに思っていたんですが、
この文脈からするとやっぱり分かってない事を改めて認識させられました。

「位相とは」について教えてください。

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A 回答 (17件中1~10件)

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この回答へのお礼

http://www.math.meiji.ac.jp/staffs/ahara/Kgairon/
はとても参考になりそうです。ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/12 13:40

アドバイスではなくお詫びです。



専門化でもなんでもないので余計な書きこみをグダグダ書いて申し訳ないと思っていました。
しかしながら、昨日は酔っ払っていたようで、なんか書いたような気がして
みてみるとやっちゃっていました。(こころからお詫びいたします。)
しかも
> 固有状態というのは物理的には束縛された状態を表し
> それ以外は束縛されていない状態を表すからです。
というのは間違いですね。
離散固有値を持つ場合は束縛された状態、
連続固有値を持つ場合は束縛されていない状態です。
いいたかったのは束縛された状態で
束縛されていない状態を表すことができるということです。
まともな関数というのは、物理的にいってしまえば、
エネルギーが有限な状態を表している
(2乗可積分)という意味です。

そして位相となにが関係あるかというと
離散固有値が無限個あるような系には
連続固有値の場合に出てくる関数の一部は含まれなくて
離散固有値の関数を無限個の和で表すとようやく
その状態を表すことができると
いったことをあらわすためには基本的に
極限操作をちゃんと扱わなくてはならない
そのためのお膳だてが位相空間なのではないの?ということです。

わたしもで独学で数学を勉強しています。
taropooさんのような方がいてくださると心強いです。
それでついついわけのわからんことを書きこみたくなってしまいました。
できごころです。許してください。
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No.13に対するお礼で位相とは距離のことかといわれいるのが気に掛かりました。


実際問題としては極限とそれを付け加えた空間をどれだけうまく扱えるかといったことが問題になると思います。

典型的な例かどうかわかりませんが
関数空間である演算子に対して無限個の離散固有値をもつ場合に
その固有関数をもちいて、まともな関数をすべて表すことができる(無限個の和もあり)
というのは不思議でした。固有状態というのは物理的には束縛された状態を表し
それ以外は束縛されていない状態を表すからです。こういう場合の
集合の概念は重要で、無権個の固有関数で表現できるかなどは
極限をどう扱うかによると思います。

距離という概念(線形空間的なもの)より
むしろ極限を考えるときにどんどん近づくというのを集合の包含関係に
置き換えて精密化したというのが本当のところだと思います。
極限の定式化という意味ではそれを超越的に記述する(極限をどんどんではなく
どんな場合でも適当なナンチャラが存在する)方法論で
数学オンチの立場から言わせてもらえばそのための言葉を勉強しているに過ぎないのではないでしょうか?

もっといえばご自分で位相空間論的な立場で問題意識をもたない限り、
距離空間の一部の性質の抽象化にしか過ぎないのではないでしょうか?
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自己レスというより訂正です。



>promeさんの補足の通りSの濃度は規定していません。Λもその通りです。

SではなくΛの濃度です。有限でも無限でもいいです。
回答は以下の本を参考にしています。

参考URL:http://www.iwanami.co.jp/cgi-bin/qsearch
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私は数学を専門にしていないのであまり細かいことはわかりませんが(^^;



>> したがってCは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され
>
>という記述ですが、この場合集合SがCに相当しますよね?
>Dとしては例えばどんなものが考えられるのですか

そうですね。CはSに相当します。
私を含めて距離空間と位相空間がごっちゃになっているかも知れません。(^^;
直感的にはDに相当するものはdだと書きたいのですが、DはSの部分集合系なので本当は違います。でも大体あっています。上の質問の場合dでよいです。

(M1) d(z, z')≧0; d(z, z') = 0 は z = z' の時に限る
(M2) d(z, z') = d(z', z)
(M3) d(z, z'') ≦ d(z, z') + d(z', z'') :三角不等式

で定義されるd「距離関数」は暗黙裡にdはS(1つの空でない集合)で定義された2変数実数値(z:実数値)関数、S×Sから実数Rへの写像であるということが考えられています。今の質問の場合だとzを複素数としてd(z,z') = | z' - z | と定義しているので、dはRへの写像となってます。(S、d)を距離空間(S、d)といいます。略して距離空間Sとも書きます。(S、d)においてdを距離と言います。

本当はSの以下の条件をみたす部分集合系D_d(距離空間(S、d)を与えている)を定義して、距離空間(S、d)にはいつも位相D_dが付随していると考えます。ですから位相空間は(S、D_d)です。このD_dを踏み台にして、距離空間(S、d)を位相空間とみなします。(ただし、離散位相空間・・・DをSの部分集合全体からなる集合系としたものです)

*条件*
(S、d)を一つの距離空間として、aをSの任意の1点、εを任意の正の実数
集合B(a;ε)={x|x∈S、d(a、x)<ε}:球体
を定義して、Sの空でない部分集合Yが∃aに対しB(a;ε)⊂YとなるBが存在するような部分集合Yの全体および空集合からなる集合系をD_dとする

こんなものでよろしいでしょうか?・・・ゼイゼイ
promeさんの補足の通りSの濃度は規定していません。Λもその通りです。
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この回答へのお礼

やっぱり例を挙げるとなると距離になっちゃいますか。
下のほうでどなたかが「位相≒距離」みたいな事をおっしゃってましたが、
その微妙な違いとは何なのか気になっていましたが
この場でそれをご説明頂くのは大変なようです。

まずは「位相≒距離」でもちょっと違う、位相のほうが抽象的、くらいに捉えておいて、
やっぱり理解しないとまずいと言う場面になったらご紹介頂いた本で勉強しようと思います。

inukoroさん、promeさんを始め沢山の方々、長々とお付き合いいただきありがとうございました。

お礼日時:2001/07/11 21:43

>> したがってCは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され


>
>という記述ですが、この場合集合SがCに相当しますよね?
>Dとしては例えばどんなものが考えられるのですか?
>(こんな質問してる事自体分かってない事を露呈しているのかな?)

inukoroさんが答えられるのかもしれませんが、ちょっと横から。
どうしても理解したいのなら、専門書をひもとくか、
御自分で考えられた方がいいのでは?数日かけて。
あるいはさらっと流しておくか。

大学レベルの数学関係の本にはよくこういう表現があります。
文中で深く論じることが、本来の目的から逸脱するとか、
(この場合だと複素解析がメインだから)
あるいは知っている人には退屈する議論になるなどの理由で、
一言でさらっと流してしまう。
私もそうでしたが、初心者にはこれがわからない。
詰まってしまうんですね。
私はさらっと流してしまったクチです。
位相の講義でもっと勉強して理解しようとしました。
でないとメインの複素解析が進まなくなるから。

>それと、定義は明確になったとは言いつつ1つ分からない記号がありました。
>
>> λ∈Λ
>
>ってどう言う意味ですか?

これは添字集合というものです。例えばn個の集合Y_1,Y_2,...,Y_nを表現する時、
S={1,2,...,n}として、Y_i(i∈S)と書く方法です。この時Sを添字集合といいます。
ここで書かれている添字集合Λは、ある特定の集合を示しているのではありません。
集合が有限個なら上記の通りで、無限個例えば自然数の個数と同じだけある
集合を表現する時は、N(印刷物ではよく太字のNになってます)を
自然数全体の集合とすると、Y_n(n∈N)と書きます。

なぜΛの文字を使うかは知りませんが、Nだと自然数、Rだと実数、
Cだと複素数、と暗黙のうちにそう解釈されるので、他の用途にあまり使わない
Λの文字を使っているのではないか、程度の認識しかありません。
多くの文献でΛを使っているので、数学を専門にやっている人は、
黙ってΛと書いても任意の添字集合だな、と理解します。

添字集合のことは集合論の本に書いてあると思います。
集合論は深入りすると結構大変ですが、
集合の濃度についてはさらっと勉強された方がいいかと思います。
実はinukoroさん記述の位相空間の定義の3つ目は、添字集合Λの濃度に
依存せず、成り立つということを言っているので。
(濃度とは集合の元の個数です。1,2,3と数えられない無限集合の場合
「個数」というと語弊があるのであえて「濃度」という用語を使います)

この回答への補足

> どうしても理解したいのなら、専門書をひもとくか、
> 御自分で考えられた方がいいのでは?数日かけて。
> あるいはさらっと流しておくか。

教えて!gooでは良くこう言った回答を目にします。
しかし僕はそれよりも教えて!gooで聞いた方がいいと思うからそうするのです。
きっと上のような事をおっしゃる方は大都市圏で専門書を扱ってる書店に手軽に足を向ける事の出来る方か、
大学や市立や区立の図書館が近くにあって内容が充実していると言う恵まれた環境にいらっしゃる方なのではないでしょうか?

そう言った事が出来ない環境にいる者にとって、教えて!gooはとてもありがたい存在です。
わざわざ交通費と時間を割いて探しに行かなくても情報を与えてくれる方が沢山いらっしゃるのですから。
もちろん、その回答の全てが内容に不備がないと言うわけではない事も知っていますし
そのために却って混乱させられる事もしばしばです。

それでも教えて!gooは自分にとって最善の選択なのです。


それはさておき、

>> したがってCは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され
>
>という記述ですが、この場合集合SがCに相当しますよね?
>Dとしては例えばどんなものが考えられるのですか?

についてのinukoroさんの回答が待たれる所です。

補足日時:2001/07/11 16:36
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>>> a)有限個の開集合の積集合はまた開集合


>>> b)任意個の開集合の和集合はまた開集合
>
>「a)で言う所の開集合って何?」となると、Xの部分集合についてそのまた
>部分集合を考えなきゃいけなくて、定義が再帰的に見えるのですが。
>やはり開集合を定義するには開集合と言う概念を使わずに定義する必要がある
>ように思えます。

いえいえ、このa),b)の部分は、ユークリッド空間の開集合の性質を
説明したときに書いたものです。
混乱しないように書くと、

a)有限個のΘの元の積集合はΘの元
b)任意個のΘの元の和集合がΘの元

です。これにc)φ∈Θ,X∈Θという条件を付加して、
この3つの性質を持つΘをXの位相と定義します。
そしてΘの元をXの開集合と呼びます。
これでいいでしょうか?

現代数学の多くは定義や性質を抽象的に述べているので、字面だけを追っていると
何を言ってるかわかりません。しっかりと自分の頭で考えて、自分なりのイメージを
持たないと理解できません。本を読むのに1時間かかったとすると、自分の頭で
考えて理解するのに4~5時間、場合によっては何日もかかるつもりでいた方が
いいでしょう。特に最初のころは慣れてないので。

位相の定義を作った人だって、きっと20~30分で考えついたのではないでしょう。
先人の蓄積の上に自分の考えを重ねて、何日も何ヶ月も考えたのではないでしょうか。
もっとも数学者の中には稀有の大天才がいるので、一瞬で思いついたなんていう人も
いるのでしょうけどね。

>位相についてはそれ自体を突き詰める気はなく、何かと出てくる言葉として違和感なく
>接する事が出来れば程度に思っています。

それでしたら、あまり深入りせずにさらっと流せばいいのでは?
これまでのレベルの議論をするでしたら、本格的な位相空間論の本を読んでください。
読まずに位相の議論をしても、たぶん空回りでしょう。
私は読んでいらっしゃるとばかり思っていたので、上記のa),b)の部分で
端折って書きました。手元に本があるので端折っても理解していただけると...

この回答への補足

> a)有限個のΘの元の積集合はΘの元
> b)任意個のΘの元の和集合がΘの元
>
> です。これにc)φ∈Θ,X∈Θという条件を付加して、
> この3つの性質を持つΘをXの位相と定義します。
> そしてΘの元をXの開集合と呼びます。
> これでいいでしょうか?

もちろんこれならOKです。やはりAを定義する時にAを使ってはいけないと思います。それは古典数学だろうが現代数学だろうが同じだと思いますが。素人考えですか?

> それでしたら、あまり深入りせずにさらっと流せばいいのでは?

始めから下のinukoroさんみたいな回答が頂ければ長引かずに済んだのですがね。

補足日時:2001/07/11 13:27
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[位相の定義]



Sを一つの空でない集合とする。Sの部分集合系Dが次の3つの条件をみたすとき、DはSに1つの位相構造を定めるという。簡単に、DはSにおける1つの位相であるという。

(1) S∈D および Φ∈D
(2) Y_1∈D、Y_2∈D ならば Y_1∩Y_2∈D
(3) Y_λ:λ∈Λ をDの元から成る任意の集合族とすれば{∪Y_λ:λ∈Λ}∈D

[位相空間の定義]

また1つの位相構造の定められた集合S、つまり、1つの位相Dの与えられた集合Sを位相空間という。形式的にいえば集合Sとそこにおける1つの位相Dとの組(S、D)である。Dを位相空間の位相ともいう。位相空間(S、D)に対して集合Sを台集合という。Sの元を位相空間(S、D)の点といい、Sの部分集合をそのまま(S、D)の部分集合とよぶ。

[開集合の定義]

(S、D)を1つの位相空間とするとき、Dに属するSの部分集合をこの位相空間の開集合ないし開集合系という。

っととりあえず定義だけならべてみました。レスが多くてあまり見ていませんが、下の補足からするとまだ集合と位相の話しを習っていないようなので「集合・位相入門」:岩波書店:松坂和夫著をお勧めしておきます。距離空間の話しものっているので読みやすいかもしれません。数学の勉強をもしこれから先に進まれるのなら集合の話しは基盤となっているので読んでおいた方がよいかと思います。または、「多様体の基礎」:東大出版のはじめにも開集合のことは復習として書いてあるので参考にしてください。

この回答への補足

ありがとうございます。定義はこれで明確になりました。
ところで元の問題に戻って

> したがってCは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され

という記述ですが、この場合集合SがCに相当しますよね?
Dとしては例えばどんなものが考えられるのですか?
(こんな質問してる事自体分かってない事を露呈しているのかな?)

それと、定義は明確になったとは言いつつ1つ分からない記号がありました。

> λ∈Λ

ってどう言う意味ですか?

補足日時:2001/07/11 13:17
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鋭い突っ込みに少しタジタジのpromeです。


一度実家へ帰って大学時代のテキストを見てみますが、
とりあえずわかる範囲で回答を。

>> 一般の集合Xで上記のa),b)の性質を持つXの部分集合を、
>> Xの開集合と定義します。
>> φ(空集合)とX自身もこの2つの性質をもちます。
>
>開集合の定義の中に開集合と言う言葉が出てきてはまずいんじゃないでしょうか?

Xの開集合の定義:上記a),b)の性質を持つXの部分集合
ですから、まずくはないです。

>それと、仮に開集合と言う言葉が定義されたとしてそれが上のa),b)を満たして
>いるとするならば
>
>> 開集合の族をΘとすると、
>> 1)φ∈Θ,X∈Θ
>> 2)有限個のОn∈Θに対し、∩Оn∈Θ
>> 3)任意個のОλ∈Θに対し、∪Оλ∈Θ
>
>は当然成り立つ条件なんじゃないですか?

これは私の書き方がまずかったのでしょう。この部分は改めて位相空間の定義を
書いたものです。「上記1)~3)の性質を持つΘをXの位相という」というのが
位相空間の定義です。

現代数学の抽象化のパターンとして、「ユークリッド空間の○○は△△なる性質
を持つ」場合、一般の集合で「○○の定義を△△とする」というのがよくあります。
今の場合、○○が開集合で、△△が条件a)とb)です。

>それ以前に、上の「X自身もこの2つの性質をもちます。 」ってどう言う意味ですか

これは私の間違いです。「X自身とφもΘの元とします」と書くのが正解でした。

ところでtaropooさんはどういう本で数学を勉強されているんでしょうか?
私は大学時代に、菅原正博著「位相への入門」朝倉書店刊で勉強しました。
図解がほとんど(全く?)なくて、当時の私にはとっつきにくい本でしたが、
抽象化に慣れる意味ではいい本だと思います。
ただ理解のためには図解入りの本をサブで読んだ方がいいかもしれません。

この回答への補足

> Xの開集合の定義:上記a),b)の性質を持つXの部分集合
> ですから、まずくはないです。

との事ですが、

>> a)有限個の開集合の積集合はまた開集合
>> b)任意個の開集合の和集合はまた開集合

「a)で言う所の開集合って何?」となると、Xの部分集合についてそのまた部分集合を考えなきゃいけなくて、定義が再帰的に見えるのですが。
やはり開集合を定義するには開集合と言う概念を使わずに定義する必要があるように思えます。

> これは私の書き方がまずかったのでしょう。この部分は改めて位相空間の定義を
> 書いたものです。「上記1)~3)の性質を持つΘをXの位相という」というのが
> 位相空間の定義です。

ということはΘは開集合の族である必要はないと言う事ですか?

> 現代数学の抽象化のパターンとして、「ユークリッド空間の○○は△△なる性質
> を持つ」場合、一般の集合で「○○の定義を△△とする」というのがよくあります。
> 今の場合、○○が開集合で、△△が条件a)とb)です。

は何となく分かる気がします。

> ところでtaropooさんはどういう本で数学を勉強されているんでしょうか?

質問に登場した『複素解析』(高橋礼司著 東大出版会)のほか、『微分積分学』(笠原晧司著 サイエンス社)、『線形代数入門』(斎藤正彦著 東大出版会)など、理系全般のの大学1年生が授業で使ってるような教科書です。
位相についてはそれ自体を突き詰める気はなく、何かと出てくる言葉として違和感なく接する事が出来れば程度に思っています。

補足日時:2001/07/11 00:33
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>>それとそもそもここでいう開集合ってどう定義されたものですか?


>>私は距離に基づいて定義された開集合しか知らないので。
>
>これ、教えてください。イメージは良いので定義を。

まずユークリッド空間の開集合から行きます。1次元ユークリッド空間Rは、
ご存知の通り実数の数直線です。
Rにはユークリッド距離(いわゆる通常の距離です)が存在するので、
点x∈Rのε近傍を(ε>0とする)
Vε(x)={y|y∈R,|x-y|<ε}
と定義します(簡単にいうとxを中心とした半径εの円の内部です)。
Rの部分集合(a,b)={x|a<x<b,a,b∈R}を考えた時、
(a,b)の各点は、十分小さなε近傍を作ってやると、
必ずVε(x)⊂(a,b)になります。
こういう性質を持つRの部分集合を開集合といいます。
(距離に基づいた定義をご存知なら、わかりますよね?)

ではRの開集合はほかにどういう形のものがあるかというと、
1)(a,b)
2)(-∞,b)
3)(a,∞)
4)(-∞,∞)
5)φ
です。これがRの開集合のすべてです。

Rの開集合はほかにどういう性質を持つかというと、
a)有限個の開集合の積集合はまた開集合
b)任意個の開集合の和集合はまた開集合
です。a)で任意個の積集合が開集合にならない例は
nを自然数とした時、可算無限個の積集合∩(-1,1/n)=(-1,0]
です。b)は上記の開集合の定義(ε近傍云々の部分)から証明できます。

ここからが現代数学特有の抽象化です。
一般の集合Xで上記のa),b)の性質を持つXの部分集合を、
Xの開集合と定義します(ここにはもはや「開いた」というイメージは
ありません)。φ(空集合)とX自身もこの2つの性質をもちます。

ここから位相空間の定義、すなわち、開集合の族をΘとすると、

1)φ∈Θ,X∈Θ
2)有限個のОn∈Θに対し、∩Оn∈Θ
3)任意個のОλ∈Θに対し、∪Оλ∈Θ

なる性質を持つとき、ΘをXの位相といい、位相空間(X,Θ)
あるいは単に位相空間Xという。

が出てきます。

この回答への補足

シンプルで無駄のない、それでいて飛躍のないご回答、ありがとうございます。
しかし済みません、taropoo、まだ分かってないです。(;_;)

> a)有限個の開集合の積集合はまた開集合
> b)任意個の開集合の和集合はまた開集合

> 一般の集合Xで上記のa),b)の性質を持つXの部分集合を、
> Xの開集合と定義します。
> φ(空集合)とX自身もこの2つの性質をもちます。

開集合の定義の中に開集合と言う言葉が出てきてはまずいんじゃないでしょうか?

それと、仮に開集合と言う言葉が定義されたとしてそれが上のa),b)を満たしているとするならば

> 開集合の族をΘとすると、
> 1)φ∈Θ,X∈Θ
> 2)有限個のОn∈Θに対し、∩Оn∈Θ
> 3)任意個のОλ∈Θに対し、∪Оλ∈Θ

は当然成り立つ条件なんじゃないですか?

つまり、Θが開集合の族である以上、Оn、Оλ∈Θは開集合であり、よってa),b)より、∩Оnも開集合 、∪Оλ も開集合、これらの開集合がΘの要素である事は自明に思えるのですが。

それ以前に、上の「X自身もこの2つの性質をもちます。 」ってどう言う意味ですか。Xは一般の集合だったはずです。それが開集合(??)。そもそも「X自身がa),b)を満たす」という意味が分かりません。

しつこくて申し訳ありませんがよろしくお願いします。

補足日時:2001/07/10 16:31
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