複素解析の本に
『複素数の絶対値の性質から明らかなように、複素数z, z'に対してd(z,z') = | z' - z | とすれば、dはC上の'距離関数'を与える:
(M1) d(z, z')≧0; d(z, z') = 0 は z = z' の時に限る
(M2) d(z, z') = d(z', z)
(M3) d(z, z'') ≦ d(z, z') + d(z', z'')
したがってCは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され、それを元に極限、連続性などの議論を進めることが出来る。』

とあったのですが、位相ってなんですか?

実は前にもちょっと似た質問をしたことがあってその時はトポロジーの和訳、くらいに思っていたんですが、
この文脈からするとやっぱり分かってない事を改めて認識させられました。

「位相とは」について教えてください。

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A 回答 (17件中11~17件)

私の回答に対する補足を今読んだところです。

ごめんなさい。気がつかなくて。
補足について返事をします。

>「セット」って集合の集合のことですか?つまり集合を要素に持つ集合。
>本で読んだことがある気がするのですが日本語ではなんて言うんでしたっけ?

はい、集合の集合のことです。集合族って言いませんでしたっけ?

>それとそもそもここでいう開集合ってどう定義されたものですか?
>私は距離に基づいて定義された開集合しか知らないので。
>
>1)~3)で位相が定義される事は紙の上では分かったのですがどうも
>今一ぴんと来ません。
>1)~3)はそれぞれ感覚的に言うとどういう意味があるんでしょう

位相空間の定義は極めて抽象的なものです。開集合といっても「開いた」
というイメージはありません。ですから感覚的な意味はありません。
元々ユークリッド空間の開集合が持っている性質を抽象化したものです。
初めはユークリッド空間をイメージしてもいいですが、徐々にユークリッド
空間のイメージから離れていった方がいいでしょう。でないと
そのうち習うことになる抽象的な空間の理解ができなくなります。
例えば写像空間。「コンパクト開位相」は勉強されましたか?
これなど図形的なイメージは全くありません。

この回答への補足

>それとそもそもここでいう開集合ってどう定義されたものですか?
>私は距離に基づいて定義された開集合しか知らないので。

これ、教えてください。イメージは良いので定義を。

それと、
> 1)φ∈Θ,X∈Θ
> 2)有限個のОn∈Θに対し、∩Оn∈Θ
> 3)任意個のОλ∈Θに対し、∪Оλ∈Θ
って、
全ての集合は空集合を要素に持つからφ∈Θは自明だし
部分集合達の積集合はやっぱり部分集合だから2)も自明、
同じく部分集合達の和集合も部分集合だから3)も自明で
結局X∈Θ以外に何も言っていないのと同じに見えるのですが。

当然言ってる事が間違ってる事は予想がついていますが、何が間違っているか分かりません。
教えてください。

補足日時:2001/07/09 18:03
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shroederです



f^{-1}(V) はそこに定義が書いてあるように、Vの逆像のことで、
逆写像 f^{-1} の存在とはまったく無関係です。
空集合でも全然かまわないので、写像があれば
逆像をとることは、いつでもできます。同じ記号を使いますが、
通常は混乱しません。

ontoは”上への写像”ということです

標語的には、最初は
距離空間→連続関数(写像)
ですが、これを
距離空間→開集合→連続関数(写像)
と3段論法に分解できる
ということです

1対1と全単射の区別がつかないようでは、位相を理解するのは
無理があると思います。
ここでいろいろ教えてもらっても、正しいものもあれば間違いもあり、
いくらきいても混乱するばかりでしょう。本当に知りたければ
何かしっかりした本を選んで、きちんと読むことです。

この回答への補足

f^{-1}(V)の件は了解しました。

> 1対1と全単射の区別がつかないようでは、位相を理解するのは無理があると思います。

記憶力と理解力とは違います。数学から10年近くも離れていればど忘れの一つや二つあってもおかしくないでしょう。

> ここでいろいろ教えてもらっても、正しいものもあれば間違いもあり、
> いくらきいても混乱するばかりでしょう。本当に知りたければ
> 何かしっかりした本を選んで、きちんと読むことです。

それはある意味正論です。
確かに正確じゃない回答もあるでしょうし、こちらが聞きもしない事をとうとうと語られる事で却って混乱する事もしばしばです。

しかし本を読んでいてちょっと意味不明な所があったとき、
その度大きな書店まで行って関係しそうな本を選んで、というのは賢明とは思えません。
ある程度信憑性の薄さを覚悟の上で、こうしてネット上で知識を得るというのはそれほど間違った方法とは思えませんが。

補足日時:2001/07/09 13:57
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δ-ε論法(ε-δ論法というのが正しいようです(a,b,c,d,e,...だと思うのですが)...逆におぼえていました)は基本的に極限を「有限な関係がいつでもでも成り立つ」という表現に置き換えることだと考えればいいのではないでしょうか。


http://ruffnex.oc.to/ipusiron/math_lecturez/math …
といいつつ、ε-δ論法はわすれてしまいました。

つまり、すべて○○に対して或る△△が存在する。というのがすべての○○に対して或る開集合が存在してという具合に使うのだと思います。つまり、或る△△が距離をもとにしてδをパラメータとするある範囲を指定しているのに対して、近傍系をとってその系列の中での順序(包含関係)によって、距離を介さずに範囲を指定する方法をとっているのではないでしょうか?こうすると距離のようながちがちの関係ではなく単純な集合の包含関係ですべてを記述できる(つまり、集合の言葉で表すことができる)という意味で抽象的に表現できます。(裏を返せば、そこに出てくる証明では距離と言う概念のうち、近傍の概念の部分しか使っていないので、余分なものをわざわざ考えない、ということなのではないでしょうか。)

ただ位相空間論のような本を読むときには距離空間を念頭においても良いと思います(だって、近い遠いを抽象したものなんですから。だたし、余分な性質も含んでいるのでそこは注意深く。ハウスドルフ的かどうかとか。ハウスドルフ的であればもう距離空間を思い浮かべてしまいますね)。抽象的な説明であればあるほど読む側は具体例を思い浮かべ、具体例であればあるほど抽象的に本質をつかもうとするのがいいのではないでしょうか?(数学に限らず、たとえば属人的な出来事からその背景にある歴史を読み取り、歴史の潮流からその時代の典型的は出来事を抽出するセンスが歴史を勉強することなのではないかと私は思います。...それがわからなかったので私は歴史の勉強が大嫌いだった。歴史上のあらゆる出来事が英雄によって成り立っていると考えるのはばかげているし、歴史の潮流のみによる記述は人間自身にとって意味がないような気がします。・・・理論と実験の関係に近いですね。)
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位相は物理の方で


sin xとsin(x+a)のように同じ周期の振動の山のずれを
表す言葉として使われています。これはphaseの訳で、数学でいう
位相とは全く関係がありません。

数学では2つの意味で使われていて
ひとつは
位相空間(論)、または 一般位相 という意味で、これはgeneral topology
の訳です。日本語で単に位相といった場合はこちらの意味の場合が多いでしょう。
第2は
位相数学、または位相幾何 と呼ばれるもので、これは位相多様体と呼ばれる
ものを研究する分野です。ドーナツとコーヒーカップは”同じ”という
風に説明されているもので、これは位相同型で移れるものは同じとみなす
という幾何学のことで、英語ではこれを単にtopologyと呼んでいます。

距離空間であれば、点列の収束ということを考えることができます。
たとえばR^2に普通のユークリッド距離を考えたものです。
別にx=(x_1、x_2)とy=(y_1,y_2)の間の距離を
d'(x,y)=max (|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)と定めれば、これは別の距離空間
(R^2は同じでも距離が違う)と考えられます。しかし、どちらの距離で
考えても、ある点列{a_n}があるαに収束するか否かは変わりません
(一方の距離で収束すれば他方の距離でも収束する)。その根拠は
d'(x,y)<=d(x,y)<=2d'(x,y)
(d はユークリッドの距離を表す)
のようになっているからです。

このような場合、2つの距離は同値な距離であると言われます。

一方距離が決められていると、開集合という概念を定義できて、たとえば
f:R^2→R が関数のとき、fが連続であることは、Rの任意の開集合Vに対して
逆像f^{-1}(V)(つまり{x∈R^2|f(x)∈V} のこと)
が開集合であることと言い換えることができます。
したがって、必ずしも距離が定まっていなくても、開集合という概念が
あれば、連続関数を考えることができます。
そのとき、いい加減なものを開集合としてしまうと都合がわるいので
それが満たすべき公理が決められています(先人達がいろいろ苦労して
この公理にたどり着いたのです)。これが下の回答に述べられている公理
です。

したがって、集合Xがあって、その部分集合を元とする集合が何らかの
方法で指定されていて、それが開集合の公理をみたしているとき
Xには位相が入っている、というのです。大切なことは、同じ集合X
であっても、いろいろな位相が入るということで、
1)すべての部分集合が開集合、というのと
2)空集合と全体集合Xのみが開集合
の2つが極端なものです。1)はディスクリートな位相と呼ばれるもので
どの2点もまったく離れていると考えるということで、2)の場合はどの
2点も限りなく近いと考えているということです。

このように集合Xがあったとき、それに追加的なテータを組み合わせたもの
を”構造”といいます。たとえば
Xの2つの元の積が定まって、結合律が成り立つものは半群で、
さらに単位元1と任意の元に対する逆元があれば群の構造が入った
といいます。
ベクトル空間は集合に足し算とスカラー倍が定まっていて、ある規則を
満たす構造のことです。現代の数学はほとんどすべてこの
集合+構造
という考え方(というか、言葉)で書かれています。
位相もそういった構造の1つですが、現代の数学のほとんどに現れる概念
です。大学の図書館へ行ってブルバキ(Bourbaki)という著者(?)の
位相1(東京図書)という本の最初の2節くらいを読むと、位相空間の定義と
それが近傍という概念と同値であることを、最高に抽象的に書いてあります。
最初は何を言っているのか分からないかも知れませんが、虚心坦懐に
読んで、距離空間の場合と引き合わせて考えれば、徐々に分かるかも
知れません。慣れてしまえば非常に便利で快適な考え方で、レビィ=
ストロース達の構造主義もブルバキの影響を受けたものです。

位相の効用としては
たとえば、コンパクトという概念があって、コンパクトな空間の
上で定義された連続関数は必ず最大値・最小値を持つ、ということが
証明できます。これは、有界な閉区間で連続は関数は必ず最大値・最小
値を持つ、という定理の一般化になっています。これは距離がなくても
位相が入っていれば成立する定理であるというわけです。

R上には、大小関係とか、足し算、掛け算、1次元ベクトル空間の構造
とか位相の構造が入っているので、かえってわかりづらいので、
どの定理や性質は、どの概念の帰結で、他の概念とは無関係であるか
ということを明らかにすることが大切なのです。そのようにすると
R以外の対象について同じようなことを考えるためには何があれば
よいのか、ということがはっきりするわけです。たとえば四則演算
の構造を取り出して、抽象化したものが、体(field)と呼ばれるものです。

この回答への補足

> 一方距離が決められていると、開集合という概念を定義できて、たとえば
> f:R^2→R が関数のとき、fが連続であることは、Rの任意の開集合Vに対して
> 逆像f^{-1}(V)(つまり{x∈R^2|f(x)∈V} のこと)
> が開集合であることと言い換えることができます。

これってf^{-1}が存在する時に限って言える事で、一般的じゃないですよね?

それと

> したがって、必ずしも距離が定まっていなくても、開集合という概念が
> あれば、連続関数を考えることができます。

とのつながりが分かりません。
「距離が決められていると開集合という概念が定義できてfの連続性が定義できる、したがって、距離が定まっていなくても開集合という概念があれば連続関数を考えることが出きる。」って、論理的じゃない気がするのですが。
「A∧(A⇒B)⇒CしたがってB⇒C」っていう風に見えるのですが。

補足日時:2001/07/08 01:01
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数学的でなく直感的な回答です。


位相とは距離ですね。但し、その距離をどうやって計ったり、決めたりするかは
方法が色々あります。(グラフ用紙にも対数軸を使った物とか、時間軸を使ったりしますよね)
で距離の概念を数学的に言った物がtaropooさんの(M1)-(M3)ですよね。
ですから位相空間とは”距離が定義できる空間”という事になります。

この回答への補足

「距離は位相の一種である」という表現はあってますか?

補足日時:2001/07/08 00:49
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ここでいう位相とは、位相空間の定義でしょう。

空間Xに対し、
開集合のセットΘ(アルファベットの"オー"の筆記体のつもり)が
与えられて、
1)φ∈Θ,X∈Θ
2)有限個のОn∈Θに対し、∩Оn∈Θ
3)任意個のОλ∈Θに対し、∪Оλ∈Θ
なる性質を持つ時、Θを空間Xの位相といい、Xを位相Θを持つ位相空間と
いい、位相空間(X,Θ)あるいは単に位相空間Xと書く(という定義だった
と思いますが、教科書で確認して下さい。なにぶん遠い過去の知識なので^^;)。

距離空間の位相は、距離関数から位相Θを定義してやればいいと思います。
各点のε近傍全体から生成される開集合のセットをΘとする。
これでよかったのではないかな?(うろ覚えですが)

位相は確かにトポロジーの和訳ですが、トポロジーをいつも(代数的)位相幾何学
と解釈すると、よくないと思います。

この回答への補足

「セット」って集合の集合のことですか?つまり集合を要素に持つ集合。本で読んだことがある気がするのですが日本語ではなんて言うんでしたっけ?

それとそもそもここでいう開集合ってどう定義されたものですか?
私は距離に基づいて定義された開集合しか知らないので。

1)~3)で位相が定義される事は紙の上では分かったのですがどうも今一ぴんと来ません。
1)~3)はそれぞれ感覚的に言うとどういう意味があるんでしょう?

補足日時:2001/07/08 00:41
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この場合の位相は、集合の元の関係で近い遠いのようなものを


表現したものとかんがえればいいのではないでしょうか?

この場合は、距離空間なので、
近傍系をとって、あのδ-ε論法を
集合で表したようなことができる
という意味だと思います。

この回答への補足

> 集合の元の関係で近い遠いのようなものを表現したもの

「位相∋距離」と考えていいですか?

> 近傍系をとって、あのδ-ε論法を
> 集合で表したようなことができる

例えばどんな感じですか?

補足日時:2001/07/08 00:37
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向きを合わせて装着し、まばたきすれば勝手に適正位置に落ち着くようです。
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で、z = x+yi、w = u+viとすれば、
|Re(z w~)|   ←wだけ共役複素数
= |Re{(x+yi)(u-vi)}|
= |xu + yv|
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等号はO, OP1↑, OP2↑が一直線上にあり、
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複素数の三角不等式|z+w| <= |z|+|w|の証明について質問です。
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= |Re{(x+yi)(u-vi)}|
= |xu + yv|
<= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2)
= |z||w|
と書くことができます。

…とあるのですが、
まず、そもそも何故、虚数Imのところは計算せずに
実数Reの部分だけを計算しているのか、意図が分かりません。

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>|xu + yv|になるのは分かるんですけど、
><= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2)

Schwartzの不等式を適用してるだけ.
A,B>=0のときは
A<BとA^2<=B^2は同値なんだから
そのままでしょう
#ちなみに,こういうのは「二乗をとる」とはいいません
#「二乗をとる」というと「二乗する」という逆の意味に解釈されえます.
#まあ、気持はわかる(指数を「除去」するという意味で「とる」といってるんだろうから)けど

>実数Reの部分だけを計算しているのか、意図が分かりません。
>
>それと、|Re(z w~)|は何故いきなりwが共役複素数になってるんですか?

意図も何も明らかで
どうにかして「xu+yv」をzとwから構築しようとしただけ.
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これをきちんと整理して書けば
最初からいかにも見通してましたというように
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自分で実際に手を動かして計算してないでしょう?
計算してたらすぐ意味はわかるはず.
計算してたら zz~=|z|^2と関係があるなんて思わないと思うなあ.

落ち着きなさいな.

>|xu + yv|になるのは分かるんですけど、
><= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2)

Schwartzの不等式を適用してるだけ.
A,B>=0のときは
A<BとA^2<=B^2は同値なんだから
そのままでしょう
#ちなみに,こういうのは「二乗をとる」とはいいません
#「二乗をとる」というと「二乗する」という逆の意味に解釈されえます.
#まあ、気持はわかる(指数を「除去」するという意味で「とる」といってるんだろうから)けど

>実数Reの部分だけを計算しているのか、意図が分かりません。
>
>それと、|Re(z w~)|...続きを読む

Q凸レンズ 時間のギャップ

凸レンズは光を一点に集められるように厚みを調整してありますが,
位相差まで考慮して作られているのでしょうか?
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どなたか詳しい方がいらっしゃいましたらお教えください.

Aベストアンサー

難しいことは解りませんが、レンズの外周に近いところから像に
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(光軸上に結像しているとして)

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というのが質問の意味でしょうか。

レンズの中は光のスピードが遅いので、レンズ中心をとおる光と
周辺を通るひかりは同時に像に届くようです。

証明はわかりませんが、現象としてはこのような現象のようです。

Q不等式 |a-b|<(1/2)|b| ならば |a|>(1/2)|b| (a,b:複素数) の証明

解析の本で
ある複素数列がある複素数に収束するとき
その逆数の数列が収束値の逆数に収束する証明で使われています。
なんか自明のように使われていました。

虫のいいお願いですが、
複素平面を利用した幾何的な証明と
代数的な(式による)証明と
いただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2≧0

∴|a-b|≧|b|-|a|



なお、|a||b|-(a1b1+a2b2)≧0 は、
内積 a・b=a1b1+a2a2=|a||b|cosθ≦|a||b|
からでも証明可能です。

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-...続きを読む

QAF精度について コントラスト検出と位相差検出での画質の変化

私はデジタル一眼レフカメラのニコンD90を所有しています。レンズはタムロン17-50mmF2.8(A16)です。このカメラを使い始めたときから気になっていたのですが、
ファインダーをのぞいてAF(位相差検出式)で撮影したときの写真と、ライブビューでAF(コントラスト検出)で撮影した写真に違いがあります。コントラスト検出で撮影した写真のほうがジャスピンで詳細な描写です。

購入したレンズが前ピン、後ろピンとかいう話はよく聞きますが、
コントラスト検出式では合焦して、位相差検出式では合焦しないなんてのはあるんですか?低感度での撮影ではまったく気にならないのですが、高感度ISO3200常用するので、もしコントラスト検出の精度で撮影できてれば、もう少しきれいな写真になるのかな、といつも頭を悩ませます。さらに最近知った、ニコンのRawは純粋なRawじゃないということもショックで、天体撮影はしませんが天体撮影では勝手な処理を施すニコンはダメとかなんとか。

余談が入りましたが、AF方式の違いで比較するとこうも違うのかと驚かされます。一体、カメラ本体の不良なのか、レンズの不良なのか、それともこれがデフォルトなのかまったく判断できません。これら2つの合焦方式の違いは大体分かるのですが、それにより画質に変化が起こることがあるのでしょうか?

よく精度が高いコントラスト検出式でマクロ撮影するとか聞きますが、一般的な撮影では、多くの方はAFは位相差検出式を使用します。ということは、
コントラスト検出式の画質を基準に考えると、位相差検出式のほうが精度がよくないから、画質(詳細な描写)は悪いということですよね?
つまり上記に示したものは、レンズの問題じゃなくてAF方式の問題ということになるんですか?

私はデジタル一眼レフカメラのニコンD90を所有しています。レンズはタムロン17-50mmF2.8(A16)です。このカメラを使い始めたときから気になっていたのですが、
ファインダーをのぞいてAF(位相差検出式)で撮影したときの写真と、ライブビューでAF(コントラスト検出)で撮影した写真に違いがあります。コントラスト検出で撮影した写真のほうがジャスピンで詳細な描写です。

購入したレンズが前ピン、後ろピンとかいう話はよく聞きますが、
コントラスト検出式では合焦して、位相差検出式では合焦しないなん...続きを読む

Aベストアンサー

AF検出方式と画質は無関係です。
貴方が思っていることは画質に関する現象ではなくピント精度によるピンボケ。ピンボケと画質は基本的には無関係です。

位相差検出方式とコントラスト検出方式の違いはご存じですか?
概要説明を添付しました。
上がコントラスト検出方式、下が位相差検出方式。

コントラスト方式は検出エリア内の画像のコントラストが最大になる位置を探り当てるのでピント精度としては最も高い方式です。
位相差方式はズレ量を測定する方式なのでAFセンサーとレンズの収差の性能に依存します。レンズ収差は色収差が主な原因だと思いますがキヤノンのEOS 30D/40Dではこれが原因で日中と室内照明とではピントがズレるという現象が指摘されていました。光というのは光成分(赤や青)によって屈折率が異なります。

合焦しないケースもあります。
コントラスト方式はピント検出面が広く(面検出)、位相差方式は狭い(ライン検出)ためそういう現象が起きる場合もあります。
ラインセンサーは縦や横に配置されており、ラインに対して直角に対象物が配置されているときに最大の精度が発揮されやすくなります。コントラスト方式はそういう制約がありません。
上級機のラインセンサーはそういう現象に対処すべく縦横が重なったクロス配置になっていたり斜めのX配置にしたりと工夫されています。入門機は価格を抑えるためにクロス配置になっていない場合がほとんど。更に上級機では精度を上げるためにラインセンサーが千鳥配列になっている機種もあります。

高感度撮影でコントラスト方式の方がジャスピンになると言うことは室内がほとんどだと思いますが、その場合は光源が原因かもしれませんし、浅い被写界深度も関係し日中の屋外と暗い室内と差が出るのだと思います。
そういう場合はライブビューでのAF(コントラスト方式)がピント精度という点では有利でしょうね。
たぶんですが、ピント調整に出してもどうしようもないレンズでもコントラスト方式ならピントズレは起きないのではないでしょうか?

これは知っている人にとってはある意味常識で、ピント検出方式の特徴。
AF速度を取るかAF制度を取るか…状況と要求に合わせて使い分けましょう。

AF検出方式と画質は無関係です。
貴方が思っていることは画質に関する現象ではなくピント精度によるピンボケ。ピンボケと画質は基本的には無関係です。

位相差検出方式とコントラスト検出方式の違いはご存じですか?
概要説明を添付しました。
上がコントラスト検出方式、下が位相差検出方式。

コントラスト方式は検出エリア内の画像のコントラストが最大になる位置を探り当てるのでピント精度としては最も高い方式です。
位相差方式はズレ量を測定する方式なのでAFセンサーとレンズの収差の性能に...続きを読む

Q異なる4点A(α)、B(β)、C(γ)、D(δ)で、|α|=|β|=|γ|=|δ|、α+β+γ+δ=

異なる4点A(α)、B(β)、C(γ)、D(δ)で、|α|=|β|=|γ|=|δ|、α+β+γ+δ=0のとき、A、B、C、Dを頂点とする四角形が長方形になることの証明を、どなたかお願いします。

Aベストアンサー

(1) 2次元ユークリッド平面上のベクトルの話だという限定を付けないと、長方形にはならない。(3次元なら、たとえば原点に重心がある正四面体の頂点がα,β,γ,δでも条件を満たすでしょ。)
(2) |α|=0の場合は例外だし、α,β,γ,δのうちに同じものが含まれる場合も例外。
ということに注意した上で
(3) |α|=|β|=|γ|=|δ|=1の場合に証明すれば、他の場合は自明なので、=1の場合だけ考える。
(4) x = (α+β) とすると、αとxがなす角θはxとβがなす角と同じ。
(5) (γ+δ) = -xでなくちゃならない。で、γとxがなす角ξはxとδがなす角と同じ。
あとはθ=ξを示せばよかろ。

Qレンズでビームを絞ったときの焦点付近における干渉はあるのか

平面波の平行ビームをレンズで絞ったとします.その際,近軸の光とそれ以外の光が焦点付近で干渉して,焦点付近の強度が落ちることはないのでしょうか?光路の違いにより,多少位相差が生じるような気がしてふと気になりました.光路によってレンズ厚に違いがありますので,その分補正の効果もあるとは思うのですが,対物,アクロマティックなど,レンズの種別によっては,(特に,NAの大きいものなどは)干渉してしまうものがあるのでしょうか.どうかご教示ください.

Aベストアンサー

「レンズ中心と周辺とでは焦点までの距離が異なるので干渉するのではないか」…(1)
「しかしレンズ内では光の速度が遅いため多少緩和されるのではないか」…(2)
というご意見ですね。
レンズの収差や回折の問題を別にすれば、焦点においては、(1)と(2)の効果が相殺して位相は完全に一致しています。これはフェルマの原理<光は一番短い時間で到達できる道をとって進む>から理解できます。と言うかむしろ、経路によらず時間距離が等しくなるような特別な点が焦点なのです。
ご質問文では焦点「付近」と書かれていますが、焦点からずれた部分では、回折現象により#1さんのおっしゃるようなリングが観察されます。それに関しては「参考URL」の2.などに図示されています。

参考URL:http://www.geocities.jp/mtnsuzuki/kaisetu1.htm

Q複素数z,wについてlog(z,w)=ln(w)/ln(z)(底の変換公式)が成り立つそうですが、こ

複素数z,wについてlog(z,w)=ln(w)/ln(z)(底の変換公式)が成り立つそうですが、これはどのようにして証明されるのですか?

Aベストアンサー

<<ln(e^XY)=XYは多価性を考えると成り立たないような気がするのですが正しいのでしょうか?>>

ln(e^XY)はe^u=e^XYとなるようなuと定義されてるので、(e^u)/(e^XY)=1,e^(u―XY)=1より
u―XY=2(パイ)ni, u=XY+2(パイ)ni (nは任意の整数、i は虚数単位)となるので
u=ln(e^XY)は、いわれるとおり一通りには決まりません。ただlnの意味を主値とすれば
e^(u―XY)=1よりu―XY=0 u=XYつまり ln(e^XY)=XYです。

log(z,w)は、おなじように、z^u=wで定義される関数ですが、z^u=e^(ulnz)と定義されてるので
この場合もlnを主値にとれば e^(ulnz)=w、ulnz=lnw、u=lnw/lnzつまりlog(z,w)=lnw/lnz
と一通りには決まる。
ということで、多価関数lnのどれかの枝(えだ)をひとつに決めたうえで成立つ式と
考えるべきでしょう。

以下はぼくの聞き捨てにすぎませんが.....

しかしこれはlnを普通の複素平面上の関数と考えるから生じる問題で、何ですかそのう
リーマン面とかいう面を考えて、lnをその上での1価関数と考えれば、表題の式は
完全になりたつのかも知れません。
くわしくは、複素多価関数論とかリーマン面とかいう題の本を参照されたらとおもいます。

<<ln(e^XY)=XYは多価性を考えると成り立たないような気がするのですが正しいのでしょうか?>>

ln(e^XY)はe^u=e^XYとなるようなuと定義されてるので、(e^u)/(e^XY)=1,e^(u―XY)=1より
u―XY=2(パイ)ni, u=XY+2(パイ)ni (nは任意の整数、i は虚数単位)となるので
u=ln(e^XY)は、いわれるとおり一通りには決まりません。ただlnの意味を主値とすれば
e^(u―XY)=1よりu―XY=0 u=XYつまり ln(e^XY)=XYです。

log(z,w)は、おなじように、z^u=wで定義される関数ですが、z^u=e^(ulnz)と定義さ...続きを読む

Q理想的なフィルタの位相特性

ローパスフィルタ、ハイパスフィルタ、バンドパスフィルタを実験で実際にくみ、利得や位相特性を実際に読み取りグラフなどにしました。
~位相特性についてて~
入力と出力で位相差が生じて、通過域においては位相差は小さく
阻止域においては位相差は大きくなっていました。

僕の考察では、理想的なフィルタの
通過域において位相差は0[deg]
阻止域において位相差は180[deg]
と考察したんですが間違っているでしょうか。

しかし、直感的に答えただけで根拠がありません。
位相差が生じると出力が弱まる性質があるのでしょうか

どなたかヒントだけでもいいんで教えてください><

Aベストアンサー

>理想的なフィルタの位相特性

(1) 理想的なフィルタの位相特性 = 望ましい「フィルタの位相特性」という意味なら、「フィルタで付加される
位相量(移相)」は少ないに越したことはありません。しかし、フィルタの減衰量を大きくしていくと、移相は増大
するのを避けられません。

(2) 理想的なフィルタの位相特性 = 「理想フィルタの位相特性」という意味なら、遮断帯域に近くにつれて移相
の傾斜が急峻になります。

たとえば、下記ページ参照。
 http://www.national.com/JPN/an/AN/AN-779.pdf

Q|a|=2,|b|=1,a・b=√2 を満たす2つのベクトルa,b,が

|a|=2,|b|=1,a・b=√2 を満たす2つのベクトルa,b,があたえられている時、次の極限値を求めなさい。lim_(x→0) {|a+xb|-|a|}/x
多分間違えていると思いまっすが、|a+xb|^2を |a|=2,|b|=1,a・b=√2を代入して、(x+√2)^2+2 としてみましたが、この後、どうしていいか、まったくわかりません。よろしくお願いします。解答は、√2/2でした。途中式もお願いします。

Aベストアンサー

(|a+xb|-|a|)/x
=(|a+xb|+|a|)(|a+xb|-|a|)/(x(|a+xb|+|a|))
=(|a+xb|^2-|a|^2)/(x(|a+xb|+|a|))
=(|a|^2+2x(a・b)+x^2|b|^2-|a|^2)/(x(|a+xb|+|a|))
=(2(a・b)+x)/(|a+xb|+|a|)
=(2√2+x)/(|a+xb|+2)

lim_(x→0)(|a+xb|-|a|)/x
=lim_(x→0)(2√2+x)/(|a+xb|+2)
=√2/2


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