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初項1、公比(-x²)の等比数列のn+1項までの和を公式で出せば、
写真の右辺=・・・ の剰余項は
(-1)^(n+1)t^(2n+2)/(1+t²)のt=0からt=xまでの積分になります。
剰余項の絶対値が0に収束するなら剰余項自体が0に収束するので、それを考えると
剰余項の絶対値=t^(2n+2)/(1+t²)のt=0からt=xまでの積分の絶対値
ここでこのtの関数は偶関数なのでxの正負にかかわらず、この積分の絶対値は
=t^(2n+2)/(1+t²)のt=0からt=|x|までの積分に等しく
さらに1/(1+t²)≦1を考慮すると
剰余項の絶対値≦t^(2n+2)のt=0からt=|x|までの積分=|x|^(2n+3)/(2n+3)なので
|x|≦1 ならば|x|^(2n+3)/(2n+3)→0
したがって、|x|≦1でarctanxのマクローリン級数が収束します。
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