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数列anはa1=4,(an+1)-3an+2=0 (n=1,2,3,…)を満たす
(1)数列anの一般項を求めよ。

(2)∑ak(n~k=1),∑kak(n~k=1)をそれぞれnを用いて表せ。

(3)自然数nを3で割った時の余りをbnで表す。
∑akbk(3n~k=1)をnを用いて表せ。

gooドクター

A 回答 (5件)

=(n+1)3^n+1 /2 ー3/2 ー(1/2)[3^k+1 /2]n+1→1 +[k(kー1)/2]n+1→1


ここから、最後まで、n(n+1)/2が抜けている!!!ので、
=(n+1)3^n+1 /2 ー3/2 ー(3^n+2 ー3^2)/4 +n(n+1)/2

=(n+1)3^n+1 /2 ー(3/4)3^n+1 ー 6/4 +9/4 +n(n+1)/2

=3^n+1(nー1/2)/2 +3/4 +n(n+1)/2

=3^n+1(2nー1)/4 +3/4 +n(n+1)/2

=(3/4)・{ 3^n (2nー1) +1 } +n(n+1)/2

で、同じ答え2になる!!!
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Σ1…n k・a k=Σ 1…n ( k・3^k +k)


=(3+2・3^2 +3・3^3 +4・3^4………n・3^n)+n(n+1)/2
ここで、カッコ内をS nとおくと
ー3n・S n=ー3^2 ー2・3^3 ー3・3^4……ー(n-1)・3^n ーn・3^n+1

→ ー3・S n=同じ

となり、相殺されて、3ーn・3^n+1以外は、

→となり、S n と加えると相殺されて、
3+3^2+3^3+3^4………+3^n ーn・3^n+1 =3(3^n ー1)/2 ーn・3^n+1
これが (ー3+1)・S nになるから、最終的に、(3/4){3^n (2nー1)+1}
よって、(3/4){3^n (2nー1)+1}+(1/2)n(n+1) …答え

例によって、和分でやると
Σ 1…n a k=Σ 1…n (3^k +1)=Σ1…n 3^k +Σ 1…n (1)
=∫ 1…n 3^k ⊿k+∫ 1…n (1)⊿k
=[3^k /(3-1)]n+1→1 +[k]n+1→1
=(1/2)・( 3^n+1 ー3)+n
=(3/2)・(3^n ー1)+n …答え1と同じになった。また、

Σ 1…n k・a k= ∫ 1…n k(3^k +1)⊿k=∫ 1…n k・3^k⊿k+ ∫ 1…n k⊿k
部分和分法の公式より
∫ 1…n k・(3^k /2) ' ⊿k+∫ 1…n k^〔1〕⊿k
[ k・3^k /2]n+1→1 ー∫ 1…n 1・(3^k+1 /2)⊿k+[k^〔2〕 /2]n+1→1
=(n+1)3^n+1 /2 ー3/2 ー(1/2)[3^k+1 /2]n+1→1 +[k(kー1)/2]n+1→1
=(n+1)3^n+1 /2 ー3/2 ー(3^n+2 ー3^2)/4
=(n+1)3^n+1 /2 ー(3/4)3^n+1 ー 6/4 +9/4
=3^n+1(nー1/2)/2 +3/4
=3^n+1(2nー1)/4 +3/4
=(3/4)・{ 3^n (2nー1) +1 }
と同じ答え2になる!
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(1) a(1) = 4


a(n+1) - 3a(n) + 2 = 0
ですね?

これは
 a(n+1) - 1 = 3[ a(n) - 1 ]
であることを使います。

b(n) = a(n) - 1
とおけば
 b(n+1) = 3b(n)
 b(1) = a(1) - 1 = 3
ですから、
 b(n) = 3^n
です。

よって
 a(n) = 3^n + 1   ①

(2) ∑ak(n~k=1),∑kak(n~k=1) って、どういうこと?
 ∑(k=1~n)a(k), ∑(k=1~n)[ k * a(k) ] でいいのかな?

①を使って

∑(k=1~n)a(k)
= ∑(k=1~n)[ 3^k + 1 ]
= ∑(k=1~n)(3^k) + n
= 3[3^n - 1]/(3 - 1) + n
= [ 3^(n+1) - 3 ]/2 + n

∑(k=1~n)[ k * a(k) ]
= ∑(k=1~n)[ k * (3^k + 1) ]
= ∑(k=1~n)[ k * 3^k ] + ∑(k=1~n)(k)  ②

ここで、
 c(n) = ∑(k=1~n)[ k * 3^k ] = 1*3^1 + 2*3^2 + 3*3^3 + ・・・ + n*3^n
とおくと
 3c(n) = 1*3^2 + 2*3^3 + ・・・ + (n-1)*3^n + n*3^(n+1)
なので
 c(n) - 3c(n) = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ・・・ + 3^n - n*3^(n+1)
       = 3[3^n - 1]/2 - n*3^(n+1)
よって
 c(n) = n*3^(n+1) /2 - 3[3^n - 1]/4 = [ (2n - 1)*3^(n+1) + 3 ]/4

また
 ∑(k=1~n)(k) = n(n + 1)/2

よって
② = [ (2n - 1)*3^(n+1) + 3 ]/4 + n(n + 1)/2
 = [ (2n - 1)*3^(n+1) + 2n(n + 1) + 3 ]/4

(3) ∑akbk(3n~k=1)
これもよくわからん。
 ∑(k=1~3n)[ a(k)*b(k) ]
かな?

3nは3の倍数だから、1 ≦ m ≦ n-1 の自然数 m に対して
 k = 3m 、k=3n のとき b(k)=0
 k = 3m+1 のとき b(k)=1
 k = 3m+2 のとき b(k)=2

つまり
 ∑(k=1~3n)[ a(k)*b(k) ]
= ∑(k=1~n)[ a(3k)*0 ] + ∑(k=1~n)[ a(3k+1)*1 ] + ∑(k=1~n)[ a(3k+2)*2 ]
= ∑(k=1~n)[ 3^(3k+1) + 1] + 2*∑(k=1~n)[ 3^(3k+2) + 1]
= 3*∑(k=1~n)( 27^k ) + n + 18*∑(k=1~n)( 27^k ) + 2n
= 21 * ∑(k=1~n)( 27^k ) + 3n
= 21 * 27(27^n - 1)/26 + 3n
= 567 * (27^n - 1)/26 + 3n


急いで適当にやったので、計算間違いをいろいろしていると思います。
確認しながらトレースしてみてください。
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考え方は、


1) a n+1ー3a n +2=0から
(a n+1ー1)=3(a n ー1) =3^n+1
∴ a n=3^n +1

Σ1…n a k=Σ 1…n (3^k +1)=(3+3^2 +3^3……+3^n)+n=3(3^n ー1)/(3ー1) +n
=(3^n+1 ー3)/2 +n

Σ1…n k・a k=Σ 1…n ( k・3^k +k)
=(3+2・3^2 +3・3^3 +4・3^4………n・3^n)+n(n+1)/2
ここで、カッコ内をS nとおくと
ー3n・S n=ー3^2 ー2・3^3 ー3・3^4……ー(n-1)・3^n ーn・3^n+1
となり、相殺されて、3ーn・3^n+1以外は、
ー3^2 ー3^3 ……ー3^n=(ー3)Σ 2…n 3^k となるから計算できる!

n=3mなら、余りが0で、0
n=3n+1 は、上で求めているので、n=3m+1まで求めればいい!
n=3n+2は、同様に、すぐに計算できるよ!
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まず、「番号」と「係数」をキチンと分離し、漸化式を”正しく”書いてください。


a[n+1] - 3*a[n]+2=0, (番号は[]でくくっています) と解釈します。
この漸化式をつぎのように書き直し(同値変形)ます。
a[n+1] - 1=3*{a[n] - 1}.
これにより、数列{a[n] - 1}は、初項 a[1]-1, 公比 3 の「等比数列」であることがわかります。
これから a[n]を決定してください、(a[n]=3^n + 1)
2) Σ[k=1→n]a[k] と解釈します。
Σ[k=1→n]a[k]=Σ[k=1→n]{3^k + 1}={3^(n+1) - 3}/2 + n.
3)
Σ[k=1~n]a[3k-2]*b[3k-2]+Σ[k=1~n]a[3k-1]*b[3k-1]+Σ[k=1~n]a[3k]*b[3k]
=Σ[k=1~n]a[3k-2] + Σ[k=1~n]2*a[3k-1] + 0*Σ[k=1~n]a[3k]*b[3k]
={3*(27^n - 1)/(27-1)+n} + 2*{3^2*(27^n - 1)/(27-1)+n}
=21*(27^n - 1)/26 + 3n.
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※計算ミス、タイプミスがあるかもしれません。
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