数列anはa1=4,(an+1)-3an+2=0 (n=1,2,3,…)を満たす (1)数列anの一

数列anはa1=4,(an+1)-3an+2=0 (n=1,2,3,…)を満たす
(1)数列anの一般項を求めよ。

(2)∑ak(n～k=1),∑kak(n～k=1)をそれぞれnを用いて表せ。

(3)自然数nを3で割った時の余りをbnで表す。
∑akbk(3n～k=1)をnを用いて表せ。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/06 22:03

=(n+1)3^n+1 /2 ー3/2 ー(1/2)［3^k+1 /2］n+1→1 +［k(kー1)/2］n+1→1

ここから、最後まで、n(n+1)/2が抜けている！！！ので、
=(n+1)3^n+1 /2 ー3/2 ー(3^n+2 ー3^2)/4 +n(n+1)/2

=(n+1)3^n+1 /2 ー(3/4)3^n+1 ー 6/4 +9/4 +n(n+1)/2

=3^n+1(nー1/2)/2 +3/4 +n(n+1)/2

=3^n+1(2nー1)/4 +3/4 +n(n+1)/2

=(3/4)・｛ 3^n (2nー1) +1 ｝ +n(n+1)/2

で、同じ答え2になる！！！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/06 22:00

Σ1…n k・a k=Σ 1…n ( k・3^k +k)

=(3+2・3^2 +3・3^3 +4・3^4………n・3^n)+n(n+1)/2
ここで、カッコ内をS nとおくと
ー3n・S n=ー3^2 ー2・3^3 ー3・3^4……ー(n-1)・3^n ーn・3^n+1

→ ー3・S n=同じ

となり、相殺されて、3ーn・3^n+1以外は、

→となり、S n と加えると相殺されて、
3+3^2+3^3+3^4………+3^n ーn・3^n+1 =3(3^n ー1)/2 ーn・3^n+1
これが (ー3+1)・S nになるから、最終的に、(3/4)｛3^n (2nー1)+1｝
よって、(3/4)｛3^n (2nー1)+1｝+(1/2)n(n+1) …答え

例によって、和分でやると
Σ 1…n a k=Σ 1…n (3^k +1)=Σ1…n 3^k +Σ 1…n (1)
=∫ 1…n 3^k ⊿k+∫ 1…n (1)⊿k
=［3^k /(3-1)］n+1→1 +［k］n+1→1
=(1/2)・( 3^n+1 ー3)+n
=(3/2)・(3^n ー1)+n …答え1と同じになった。また、

Σ 1…n k・a k= ∫ 1…n k(3^k +1)⊿k=∫ 1…n k・3^k⊿k+ ∫ 1…n k⊿k
部分和分法の公式より
∫ 1…n k・(3^k /2) ' ⊿k+∫ 1…n k^〔1〕⊿k
［ k・3^k /2］n+1→1 ー∫ 1…n 1・(3^k+1 /2)⊿k+［k^〔2〕 /2］n+1→1
=(n+1)3^n+1 /2 ー3/2 ー(1/2)［3^k+1 /2］n+1→1 +［k(kー1)/2］n+1→1
=(n+1)3^n+1 /2 ー3/2 ー(3^n+2 ー3^2)/4
=(n+1)3^n+1 /2 ー(3/4)3^n+1 ー 6/4 +9/4
=3^n+1(nー1/2)/2 +3/4
=3^n+1(2nー1)/4 +3/4
=(3/4)・｛ 3^n (2nー1) +1 ｝
と同じ答え2になる！

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/10/06 20:30

(1) a(1) = 4

a(n+1) - 3a(n) + 2 = 0
ですね？

これは
　a(n+1) - 1 = 3[ a(n) - 1 ]
であることを使います。

b(n) = a(n) - 1
とおけば
　b(n+1) = 3b(n)
　b(1) = a(1) - 1 = 3
ですから、
　b(n) = 3^n
です。

よって
　a(n) = 3^n + 1　　　①

(2) ∑ak(n～k=1),∑kak(n～k=1) って、どういうこと？
　∑(k=1~n)a(k), ∑(k=1~n)[ k * a(k) ] でいいのかな？

①を使って

∑(k=1~n)a(k)
= ∑(k=1~n)[ 3^k + 1 ]
= ∑(k=1~n)(3^k) + n
= 3[3^n - 1]/(3 - 1) + n
= [ 3^(n+1) - 3 ]/2 + n

∑(k=1~n)[ k * a(k) ]
= ∑(k=1~n)[ k * (3^k + 1) ]
= ∑(k=1~n)[ k * 3^k ] + ∑(k=1~n)(k)　　②

ここで、
　c(n) = ∑(k=1~n)[ k * 3^k ] = 1*3^1 + 2*3^2 + 3*3^3 + ･･･ + n*3^n
とおくと
　3c(n) = 1*3^2 + 2*3^3 + ･･･ + (n-1)*3^n + n*3^(n+1)
なので
　c(n) - 3c(n) = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ･･･ + 3^n - n*3^(n+1)
　　　　　　　= 3[3^n - 1]/2 - n*3^(n+1)
よって
　c(n) = n*3^(n+1) /2 - 3[3^n - 1]/4 = [ (2n - 1)*3^(n+1) + 3 ]/4

また
　∑(k=1~n)(k) = n(n + 1)/2

よって
② = [ (2n - 1)*3^(n+1) + 3 ]/4 + n(n + 1)/2
　= [ (2n - 1)*3^(n+1) + 2n(n + 1) + 3 ]/4

(3) ∑akbk(3n～k=1)
これもよくわからん。
　∑(k=1~3n)[ a(k)*b(k) ]
かな？

3nは3の倍数だから、1 ≦ m ≦ n-1 の自然数 m に対して
　k = 3m 、k=3n のとき b(k)=0
　k = 3m+1 のとき b(k)=1
　k = 3m+2 のとき b(k)=2

つまり
　∑(k=1~3n)[ a(k)*b(k) ]
= ∑(k=1~n)[ a(3k)*0 ] + ∑(k=1~n)[ a(3k+1)*1 ] + ∑(k=1~n)[ a(3k+2)*2 ]
= ∑(k=1~n)[ 3^(3k+1) + 1] + 2*∑(k=1~n)[ 3^(3k+2) + 1]
= 3*∑(k=1~n)( 27^k ) + n + 18*∑(k=1~n)( 27^k ) + 2n
= 21 * ∑(k=1~n)( 27^k ) + 3n
= 21 * 27(27^n - 1)/26 + 3n
= 567 * (27^n - 1)/26 + 3n


急いで適当にやったので、計算間違いをいろいろしていると思います。
確認しながらトレースしてみてください。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/06 19:54

考え方は、

1) a n+1ー3a n +2=0から
(a n+1ー1)=3(a n ー1) =3^n+1
∴ a n=3^n +1

Σ1…n a k=Σ 1…n (3^k +1)=(3+3^2 +3^3……+3^n)+n=3(3^n ー1)/(3ー1) +n
=(3^n+1 ー3)/2 +n

Σ1…n k・a k=Σ 1…n ( k・3^k +k)
=(3+2・3^2 +3・3^3 +4・3^4………n・3^n)+n(n+1)/2
ここで、カッコ内をS nとおくと
ー3n・S n=ー3^2 ー2・3^3 ー3・3^4……ー(n-1)・3^n ーn・3^n+1
となり、相殺されて、3ーn・3^n+1以外は、
ー3^2 ー3^3 ……ー3^n=(ー3)Σ 2…n 3^k となるから計算できる！

n=3mなら、余りが0で、0
n=3n+1 は、上で求めているので、n=3m+1まで求めればいい！
n=3n+2は、同様に、すぐに計算できるよ！

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2017/10/06 19:42

まず、「番号」と「係数」をキチンと分離し、漸化式を”正しく”書いてください。

a[n+1] - 3*a[n]+2=0, (番号は[]でくくっています) と解釈します。
この漸化式をつぎのように書き直し(同値変形)ます。
a[n+1] - 1=3*{a[n] - 1}.
これにより、数列{a[n] - 1}は、初項 a[1]-1, 公比 3 の「等比数列」であることがわかります。
これから a[n]を決定してください、(a[n]=3^n + 1)
2) Σ[k=1→n]a[k] と解釈します。
Σ[k=1→n]a[k]＝Σ[k=1→n]{3^k + 1}={3^(n+1) - 3}/2 + n.
3)
Σ[k=1~n]a[3k-2]*b[3k-2]+Σ[k=1~n]a[3k-1]*b[3k-1]+Σ[k=1~n]a[3k]*b[3k]
=Σ[k=1~n]a[3k-2] + Σ[k=1~n]2*a[3k-1] + 0*Σ[k=1~n]a[3k]*b[3k]
={3*(27^n - 1)/(27-1)+n} + 2*{3^2*(27^n - 1)/(27-1)+n}
=21*(27^n - 1)/26 + 3n.
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※計算ミス、タイプミスがあるかもしれません。