１つの直線上にとった2点はこの直線をいくつに分けるか？ 答えはもちろん３つですが、なぜ３つなのでしょ

１つの直線上にとった2点はこの直線をいくつに分けるか？
答えはもちろん３つですが、なぜ３つなのでしょうか？
確かに指を折ったり、人間が分離して認識した線の部分１つ１つを数と結んで一対一対応させればその数はなんとなく分かりますが、これは数学的に厳密な操作ですか？
厳密だとすればそれが正しいことはどうやって証明されるのでしょうか？
当方学生の頃から疑問に思っていたことなのですが、恥ずかしくて先生に質問できませんでした。
このような図形上の数などを数える操作を定式化する数学的な理論みたいなものはあるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 自明と言うことは公理ということでしょうか？
  これに関することはユークリッドの公理に書いてないのですが、公理でなくても自明という言葉を使うことはあるのでしょうか？

    補足日時：2017/10/11 12:38

• いえ、3つでないことは証明できません。
  でも3つであることの証明の方法もありません。
  やはり自明と書くしかないのでしょうかね。
  この線の分割の話に限らず、あらゆる場面である図形の個数を手で数えたりしているとき、数え漏らしたり、余計に数えたりして間違えてしまうことがありました。
  そうすると先生はここを数え忘れてるんだよと教えてくれます。
  しかしその答えが正しいためには先生が指をさして声に出した方法が確実なものでなければいけません。
  しかし、その先生の答えが正しいとする根拠はその問題集に載っている答えでしかありません。
  最終的に正しさがどこにあるのかがわかりません。

    補足日時：2017/10/11 14:09

No.6 回答者： uyama33 回答日時： 2017/10/16 07:34

３個

については、集合
３＝{ Φ, {Φ}, {Φ,{Φ}} }
に対する上への１対１対応が
付けられることを示せばよい。

また
集合、順序数、基数、自然数
などの説明も必要となる。

結論は
証明はけっこうめんどくさい。
高校生以下に説明するのはたいへんなので、
普通は証明しない。

この回答へのお礼

当たり前の感覚を数学的に証明しようとするとあらゆる公理や定義が必要となり、すごく難しいということがわかりました。
何度も回答していただきありがとうございます。

お礼日時：2017/10/16 08:13

No.5 回答者： uyama33 回答日時： 2017/10/11 23:19

１、実数が順序体であることを認めるか、あるいはそうなるように実数を作る。

２、実数での大小関係による順序によって、ある数を１つ決めるとこの数より大きなものの集合と小さなものの集合に実数が分かれる。
３、直線を実数を媒介変数として表示する。
４、２つの異なる数によって、実数が大小関係から３種類に分かれることを示す。
５、４での分割にしたがって、直線も分割される。

具体的な証明では、
実数とはなにか、直線とは何かをはっきりさせてから証明を開始しないと、
混乱する。
さらに、どのような空間で直線を考えるのかによって、
証明の書き方が変ってくる。

あなたが、
実数
直線
空間
の定義をはっきりさせれば
具体的な証明が得られると思います。

No.4 回答者： Zincer 回答日時： 2017/10/11 15:03

確かに安直に「自明」何て言葉を数学の世界で使用すべきではありませんでしたね。

＞1つの分割点（あるいは線や面）があれば、2個にわかれ（分割される）
さえ証明できれば、後は整数論（ナノかな？：適切な用語がわかりません。）と同じような理論展開が可能な気がしますが、私にはできません。
これを「公理」とできるなら問題はないのですが...

こちらの質問の回答などがお役に立ちますでしょうか？
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9978110.html

＞この線の分割の話に限らず、あらゆる場面である図形の個数を手で数えたりしているとき、数え漏らしたり、余計に数えたりして間違えてしまうことがありました。（以下省略）
もし、これがこの質問の集発点であるならば、もやは「カテゴリー：数学」の領域ではないように思います。

No.3 回答者： banzaiA 回答日時： 2017/10/11 13:51

＞答えはもちろん３つですが、なぜ３つなのでしょうか？

では、３つ以外に考えられるのでしょうか？
３つではないことを、あなたは証明できますか？

＞１つの直線上にとった2点はこの直線をいくつに分けるか？
答は、３つではない、と仮定して、証明してください。

No.2 回答者： ji6 回答日時： 2017/10/11 12:45

数直線上で考えれば、証明になると思いますが。

求められている方向とは異なるのでしょうか？

No.1 回答者： Zincer 回答日時： 2017/10/11 12:32

直線に限らず、

分割されていない状態で１個ですよね。（分割点n=0の時）
1つの分割点（あるいは線や面）があれば、2個にわかれ（分割される）
２つの分割点があれば、３個にわかれる。

分割点かｎ個あれば、ｎ＋１個に分かれるのは自明のような気がします。