この問題の解答が知りたいです。よろしければやり方も教えていただきたいです。 原点Oを通りa↑=(-1

この問題の解答が知りたいです。よろしければやり方も教えていただきたいです。

原点Oを通りa↑=(-1, 1, -1)に平行な直線をlとし、点B(-2, 0, 2)を通りb↑=(-1, 2, 0)に平行な直線をmとして、点P, Qをそれぞれ直線l, m上の点とする。
⑴a↑, b↑の両方に垂直なベクトルを1つ求めよ。
⑵｜PQ｜の最小値を求めよ。

質問者からの補足コメント

• 外積を使わないやり方でお願いします。

    補足日時：2017/10/12 08:31

No.2 ベストアンサー 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/10/12 08:48

(1)は外積というものを使うと楽ですが、

この問題は恐らく数学ⅡBなので、外積は使わずに解きます。
ただし、内積を使います。
a↑とb↑の両方に垂直なベクトルを
c↑=(k,s,t)とおきます。
a↑・c↑=0より
-k+s-t=0…①
b↑・c↑=0より
-k+2s=0…②
②よりk=2s
①にこれを代入すると
-2s+s-t=0
よって、t=-s
よって、
c↑=(k,s,t)
=(2s,s,-s)
=s(2,1,-1)
sは任意の実数なので
s=1とすると
c↑=(2,1,-1)
よって(2,1,-1)が答えです。
(2)
まず、この問題を解くのに必要な知識は、
｜PQ↑｜が最小となるのは、
直線l⊥線分PQ
かつ、直線m⊥線分PQ
となることです。
p,qを実数とします。
直線l上の点Pは
OP↑=pa↑=(-p,p,-p)と表せます。
直線m上の点Qは
OQ↑=OB↑+qb↑=(-2,0,2)+(-q,2q,0)
=(-q-2,2q,2)
と表せます。
直線lはa↑と平行、直線mはb↑と平行。
さらに、(1)で求めたc↑は
a↑,b↑と垂直。
よって、c↑は直線l,mと垂直。
すなわち、PQが最小のとき
PQ↑はc↑と平行。
よって、
PQ↑=rc↑=(2r,r,-r)と表せます。(rは実数)
ここで、
OP↑+PQ↑=OQ↑より
(-p,p,-p)+(2r,r,-r)=(-q-2,2q,2)
よって
-p+2r=-q-2
p+r=2q
-p-r=2
これらを解くと
p=q=r=-1
よって、PQ↑=(-2,-1,1)
よって、｜PQ↑｜=√6
となります。
参考になればうれしいです。

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2017/10/12 07:07

1) a×b=(2, 1, -1).

2) P(-s, s, -s), Q(-t-2, 2t, 2) とすると、|PQ|が最小になるときは、ベクトルPQ//(a×b) となるときですから、
-t+s-2=2k, 2t-s=k, 2+s=-k. これより、(s, t, k)=(-1, -1, -1). を得て、
min{|PQ|}=|(-1)(a×b)|=√6.

この回答へのお礼

すみません、外積を習っていないので他のやり方を教えていただけますか…？

お礼日時：2017/10/12 08:30