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複素数の問題です!(2)がわからないので教えてください!
実数を係数とする三次方程式x^3+px^2+qx+r=0は、相異なる虚数解α,βと実数解γをもつとする。

(1)β=a ̄が成り立つことを証明せよ。ここで、αはα ̄と共役な複素数を表す。

(2)α,β,γが等式αβ+βγ+γα=3を満たし、更に複素数平面上でα,β,γを表す3点は1辺の長さが√3の正三角形をなすものとする。このとき、実数の組(p,q,r)をすべて求めよ。

A 回答 (1件)

複素平面上でα,βを表す点は(1)により実軸に対して対称な位置にあります。


その2点間の距離は
|α-β|=|2Im(α)|
であることから
Im(α)=±√3/2
であることがわかります。この場合、Im(α)<0であったとしてもαとβを入れ替えることでIm(α)>0とできるため
Im(α)=-Im(β)=√3/2
であるとできます。

次に、γとRe(α)の関係を考えましょう。
α,β,γの表す3点が正三角形でありα,βは実軸に対して対称、さらにγは実軸上にあります。この場合、|γ-Re(α)|はこの正三角形の高さになることがわかります。
正三角形の高さは一辺の長さの√3/2倍ですから
|γ-Re(α)|=√3*√3/2=3/2
となります。
γ-Re(α)=±3/2
Re(α)=γ±3/2
となります。

つまりα,βはγを使い
(α,β)=(γ±3/2+(√3/2)i,γ±3/2-(√3/2)i) (複合同順)
と表せます。

この式をαβ+βγ+γα=3に代入するとγに関する2次方程式が得られます。これを解き、解と係数の関係からp,q,rが得られるでしょう。
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Q3次方程式の根の複素数平面上の三角形

次の問題はどう攻めたらよいのでしょうか。
「3次関数 f(z)=0 を満たす3つの解が複素数平面上で三角形を成すとき、 f'(z)=0 の2つの解を焦点とし、上の三角形の一辺の中点を通る楕円は他の辺の中点も通り、かつ三角形に内接することを示せ。」
3次方程式の解が3実数でないときは1個の実数と2個の共役な複素数なので、複素数平面上で三角形を成すときは実数軸を対称軸する2等辺三角形ということは分かります。また、3次関数のグラフは変曲点が2個所あるから f'(z)=0 の2つの解は実数で、複素数平面の実数軸上にあると思います。しかし、実軸上にある三角形の頂点および底辺の中点と、f'(z)=0 の解との複素数平面上での位置関係が分からないので、その先が進みません。どういうふうに考えを進めたらよいのでしょうか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

簡単な解法を考えてみましたが、思いつきませんでした。
3次方程式を適当に変数変換をして
f(x)=x^3-3p^2x+c=0
とします。f'(±p)=0を満たしています。
cが実数で、方程式の実数解が一つ(aとします)虚数解が二つあるときを考えます。
虚数解はaをつかって
(-a±√(3a^2-12p^2)i)/2
と表わせます。かなり面倒ですがpと中点の距離と-pと中点の距離の和を計算すると|a|になることがわかります。

cが虚数の場合は実部と虚部が簡単にはわからないので非常に厄介です。(しかし定理としては成立します)

なお、後半の三角形に内接することを示すのは比較的簡単です。
一般に、楕円の周上に三点があるときその三点の重心が楕円の中心ならば、三点を接点とする接線により三角形を作ると接点はその三角形の各辺の中点になります。
楕円の式をx^2/a^2+y^2/b^2=1として
2接点の座標を(x1,y1)、(x2,y2)とします。他の一点は重心の条件より(-x1-x2,-y1-y2)となるはずですが、この点が楕円の上にあるためには
x1x2/a^2+y1y2/b^2=-1/2
を満たす必要があります。
以上の条件をみたしていたとき接線を求めると
x1 x/a^2+y1 y/b^2=1,x2 x/a^2+y2 y/b^2=1,
(x1+x2)x/a^2+(y1+y2)y/b^2=-1
となります。二つづつの連立方程式をとくと解は
(-2x1,-2y1),(-2x2,-2y2),(2(x1+x2),2(y1+y2))
となり接点が中点になっていることが確認できます。

簡単な解法を考えてみましたが、思いつきませんでした。
3次方程式を適当に変数変換をして
f(x)=x^3-3p^2x+c=0
とします。f'(±p)=0を満たしています。
cが実数で、方程式の実数解が一つ(aとします)虚数解が二つあるときを考えます。
虚数解はaをつかって
(-a±√(3a^2-12p^2)i)/2
と表わせます。かなり面倒ですがpと中点の距離と-pと中点の距離の和を計算すると|a|になることがわかります。

cが虚数の場合は実部と虚部が簡単にはわからないので非常に厄介です。(しかし定理としては成立します)

なお、...続きを読む


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