n次の整数多項式の証明（帰納法）をお願いします

以下の問題を、お願いします。

次数nに関する帰納法によって、
f(x) = B0 fn(x) + B1 fn-1(x) + B2 fn-2(x) + ... + Bn f0(x)
（B0、B1、...Bn は有理数）と書き表せることを証明せよ。

ここで、左辺のf(x)は一般の整数値多項式、右辺のfk(x)は特殊な整数値多項式xCk（組合せのC）です。
（この後にB0, B1, ...は整数であることを証明する問題があるのですが、まずは有理数であることを示さないといけないみたいです）

質問者からの補足コメント

• 

  整数値多項式 f(x) とは、すべての整数 n について f(n) が整数となるときをいいます。
  特別な整数値多項式 fk(x) は、組み合わせの nCk の n を x に変えた多項式です。
  つまり、 f0(x) = 1、f1(x) = x/1! = 1、f2 = x(x-1)/2! = 1/2x^2 - 1/2x
  などとなります。（数式が表しづらく、見にくくてすみません。）
  
  ２次多項式 f(x) = a0x^2 + a1x + a2 = b0f2(x) + b1f1(x) + b2f0(x) とする時、b0、b1、b2 が整数になることの証明は、解けました。
  で、この問題でわからないところは、以下の通りです。

    補足日時：2017/10/16 07:25

• 

  (1) 「B0...が有理数」ということは証明する必要がなくて、f(x) = B0 fn(x) + B1 fn-1(x) + B2 fn-2(x) + ... + Bn f0(x) の形になることを証明すればいいのか、
  「f(x) = B0 fn(x) + B1 fn-1(x) + B2 fn-2(x) + ... + Bn f0(x) の形になる」ことは証明する必要がなくて、B0...が有理数ということを証明すればいいのか、どちらなのか？
  
  (2) 普通の帰納法のように、n = 0 のとき、f(x) = B0 F0(x) = B0 とすると、左辺は整数だから右辺も整数といえてしまって右辺が有理数であることがいえない。（これでいいのかもしれませんが、なにか気持ち悪い）

    補足日時：2017/10/16 07:26

• 

  (3) n = k のとき、
  f(x) = B0 fk(x) + B1 fk-1(x) + B2 fk-2(x) + ... + Bk f0(x)
  が成り立つとして、k+1 にするのに、両辺に B(-1) f(k+1)(x) を足すのか、B(k+1) F(-1)(x) を足すのかわからないし、足し方もわからない。

    補足日時：2017/10/16 07:27

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/10/28 23:42

ぶっちゃけていえば

f(x) = B0 fn(x) + B1 fn-1(x) + B2 fn-2(x) + ... + Bn f0(x)
と書ける, とした時点で「B0, B1, ..., Bn が整数」もほぼ終わってるんですよ.

x = 0, 1, 2, ..., n を代入していくだけ.

No.6 回答者： hiccup 回答日時： 2017/10/28 16:26

> f(x)に場合分けが必要とは。

誤解を与えてしまって恐縮。場合分けは不要。

> fk(x)のk次の係数は 1/k! だから、B0 = 1/k! ですね。

何いってるのかわからなくて No.4 を書いた次第。　f(x)=fn(x)　だったら B0=1 なわけで。というか、そもそも B0 なんかは整数だったんじゃ・・・

f(x) の係数が有理数だといえれば、B0, ... , Bn は有理数であることを示すことは容易なはず。


数学的帰納法を使うところでは整数値多項式は忘れていいんじゃね？と書いたつもりでいた。伝え下手でご免。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/10/25 02:01

当然そういうケースも考えないとダメですね＞#4.

とはいえ, ちょっと考えてみたけど「B0, ..., Bn は有理数」が必要な理由がわからなくなったんだな. むしろいきなり整数っていっちゃった方が簡単なんじゃないかと思ったくらい.

この回答へのお礼

ありがとうございます。４の方にも書きましたが、私には難しすぎます。。。いろいろなケースを過不足なく考えられるアタマはどうやって作られるのでしょう？中央大のＨＰから取れる問題です。2015年の数学科の、たぶん自己推薦での入試問題と思います。この年はほとんど誘導がなくて、酷いです。ほかの年のは全部解けたんですが。先に有理数であることを証明させて、それから整数であることを証明させるんですけど、誘導なんてなくてお手上げです。

お礼日時：2017/10/28 15:25

No.4 回答者： hiccup 回答日時： 2017/10/20 21:36

> fk(x)のk次の係数は 1/k! だから、B0 = 1/k! ですね。

f(x) が fn(x) であるケースはないんだっけ？

この回答へのお礼

長らく放置して申し訳ありませんでした。私には難しすぎました。。これは難しいので必須の問題じゃなかったのですが、提出期限が過ぎてしまいました。f(x)に場合分けが必要とは。。なぜそのようなことを考えつけるのでしょう？ちなみに中央大の数学科の入試問題だそうです。ネットで見られます。

お礼日時：2017/10/28 15:20

No.3 回答者： hiccup 回答日時： 2017/10/17 10:23

特殊な事がらに振り回されているように見えますな。

意識し過ぎてそこにしか焦点が合わない感じ。

> 特別な整数値多項式 fk(x) は、組み合わせの nCk の n を x に変えた多項式（以下略

fk(x) を「 k 次多項式」とだけ見ては如何。


f(x) と fn(x) から B0 を決められるところにもフォーカスしたい。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。化学で死んでましたので、お礼が遅くなってすみません。
fk(x)のk次の係数は 1/k! だから、B0 = 1/k! ですね。これからk+1 の時を切り離して考えればいいんですね。もう少し悩んでみます。

お礼日時：2017/10/20 15:19

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/10/16 12:32

設問が

f(x) = B0 fn(x) + B1 fn-1(x) + B2 fn-2(x) + ... + Bn f0(x)
（B0、B1、...Bn は有理数）と書き表せることを証明せよ。
となっているんだから,
・「f(x) = B0 fn(x) + B1 fn-1(x) + B2 fn-2(x) + ... + Bn f0(x)」の形で書ける
・そのとき B0, B1, ..., Bnは有理数である
の両方を示さなければなりません. 「どちらなのか？」と問うているということは「どちらか一方を証明する」と思っているのかもしれませんが, 「どちらか一方」ではなく「両方とも」です. また, 任意の整数は有理数だから, 「右辺も整数といえてしま」えば「右辺が有理数であること」は自動的に示せたことになります. しいて言うなら「だから有理数である」と追加するくらい.

なお, n=k から n=k+1 にするときに, 「何かを足す」と思ってはいけません. 帰納法一般にそのようにしてしまいがちだし実際それでできてしまうこともあるのですが, 本来は「n=k のときとは切り離して n=k+1 の時を考える」べきです. 今の例では
n=k のときに成り立つ, つまり「任意の k次整数値多項式 f(x) に対して f(x) = B0 fk(x) + B1 fk-1(x) + B2 fk-2(x) + ... + Bk f0(x) (B0, ... は有理数) と書ける」ことを仮定して「任意の (k+1)次整数値多項式 f(x) に対して f(x) = B0 fk+1(x) + B1 fk(x) + B2 fk-1(x) + ... + Bk f1(x) + Bk+1 f0(x) (B0, ... は有理数) と書ける」(もちろん先の f(x) と後ろの f(x) とは無関係だし B0, B1, ... も同じ文字を使ってるけど関連性はない) を証明する
ことになります.

この回答へのお礼

こんにちは。ご回答ありがとうございます。
いろいろありがとうございます。帰納法では、n=kの式に何か手を加えてn=k+1にするわけではないのですね。ですがそれだと、n=k+1でも当たり前に成り立ちそうで、とっかかりが見当つきません。当たり前に思えることを式で表すのは難しいですね。ずっと考えていますが、さっぱりです。

お礼日時：2017/10/17 10:15

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/10/15 23:35

いちおう確認ですが「整数値多項式」はどのように定義されているのでしょうか?

そして, どこまでできていてどこで困っているのでしょうか?

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
補足しました。最初から本文に書いておけばよかったです。すみませんが、よろしくお願いします。

お礼日時：2017/10/16 07:29