単調写像

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連続写像の単調増加についての問題の添削をお願いします。

…f(x) は区間 [0,1] 上で連続かつ f(0) < f(1) をみたすものとし、さらに写像として 1:1 ( f(x) = f(x') となるのは x = x' の場合に限る ) とする このとき f(x) は [0,1] 上で単調増加である...…

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自然対数の単調変換について

…問題文で、「U=lnx+lnyはある関数を単調変換したものである」と書いてあったのですが、単調変換とは一体、なにを意味しているのでしょうか。 数学は敬遠してたので全く覚えてないです……

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フェルマー点の定義で和を積に変えると

…鋭角三角形を考えます。 フェルマー点とは3頂点からの距離の和が最小となる点だが、 3頂点からの距離の積が最大となる点はどういった点でしょうか? 3頂点からの距離の2乗の和が最小と...…

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lim[x→0](sinx)/x=1 の厳密な証明、sinxの定義

…高校の教科書では、 0<x<π/2のとき,面積を考えて、 (sinx)/2<x/2<(tanx)/2 2をかけて、辺々の逆数を取ると, cotx<1/x<cosecx 辺々にsinxをかけると, cosx<sinx/x<1 lim[x→0] cosx=1 挟み撃ちの...…

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数III 無限級数の収束・発散を調べたい

…与えられた無限級数の 奇数項の部分和 と 偶数項の部分和 が異なる値に収束する よってこの無限級数は振動し、発散する という解法と、 与えられた無限級数の 数列が0に収束しない よ...…

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連続単射

…いかにも大学教養レベルの位相の問題なんですが、少し混乱してしまっています。 どなたかご教示いただけたらと思います。 R^n→R^mへの連続単射fがあったとします。疑問点は三つです。 (...…

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漸化式

…a[n]はaの添字がnであることを意味します。 {a[n]}=1/(2+a[n-1] )のとき lim(n→∞) a[n]を求める問題です。 等差でも等比でも階差でもないし・・・。 よろしくお願いします。 数検1級の過去問で...…

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高校数学の写像の問題です

…a,bを実数とし,f(x)=x^2+2ax+bとする0<=x<=1を満たす実数x全体の集合をIとする (1)fがIからIへの写像を与えるためのa,bについての条件を求めよ (2) 特にfがIからIへの1対1写像であるのは、どうの...…

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大学数学 トポロジーの様々な問題がわかりません

…たくさん質問させていただきますが、一つでもわかったら回等していただけると幸いです。 (1)f:R^2 → R^1, f(x,y) = x^2 は連続写像であることを示す。 εーδを使うのはわかるのですが書き方が...…

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変換変換と極座標変換の面積 微積問題

…微積に関する問題です。 【問題】 関数 u=x^2-xy+y^2 , v=x^2+xy+y^2 によって定められる(x,y) 平面から(u,v) 平面への写像Fを考える。(x,y) 平面の円の内部 D:x^2+(y-1)^2≦1/2 のFによる像ε=F(D)の面積を求...…

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証明を教えてください

…A1,A2 ...........Amnをmn+1の実数の列として m+1の数からなる単調増加部分列 あるいはn+1からなる単調減少部分列 が存在する これを鳩ノ巣原理を用いて証明してください…

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単射 全射 全単射 について教えてください

…タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。 今、手元に問題が5つあるのですが 自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。 (1)f:Z→...…

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関数列?について

…X_n=(X_n-1^2+X_n-1) X_1=x としY_nも同様に定義する。 C_n:(X_n+X_n^2)^2+(Y_n+Y_n^2)^2=1によりC_nも定める 例えばC_1=x^2+y^2=1 C_2=(x^2+x)^2+(y^2+y)^2=1 である この時n→∞でC_nはどのような曲線?に収束するのか...…

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弧状連結でないことを示したいです。

…R2の部分集合A={(x,0)|0<x≦1}、B={(0,y)|0<y≦1}、C_n={(x,1/n)|0<x≦1,nは自然数}、C=∪(n=1,∞) C_n について X=AUBUCが弧状連結にならないことを示したいのですが、どうしたらよいかわかりません。 ...…

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チコノフの定理の適用について

…以下の問題がわかりません。 Aを開区間(-a,a)で連続な単調増加関数の集合とします。 Aに属する任意の関数をfとすると、fは以下の条件を満たします。 1、f(0)=0 2、0≦x<aのとき、f(x)≦x/1-x ...…

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定積分の値

…∫cosφ*exp(A*cosφ+B*sinφ) dφ ∫sinφ*exp(A*cosφ+B*sinφ) dφ いずれも積分範囲は-π〜+π この積分を計算することは可能でしょうか?…

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ベクトル空間

…ベクトル空間の問題なのですが, f:V→Vを線型変換とするとき,Imf^n=Imf^(n+1)を満たすn(≧1)が存在することを示せ。 またそのnについてKerf^n=Kerf^(n+1)が成り立つことを示せ。(f^nはfのn回合成変換) ...…

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y=tan(x)以外で区間(-1,1)で微分可能なシンプルな関数ってありますか?

…こんにちは。 y=tan(x)以外で区間(-1,1)で微分可能な よりシンプルな関数ってありますか? tan(x)は定義自体が複雑なので全単射とかの証明になると大変そうです。 できればxの多項式になって...…

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回転数の求め方について質問です。

…回転数の求め方について質問です。 以下のようなtを媒介変数とする複素平面上の閉曲線を考えます。 Σ[k=1〜n] A_k exp(i k (t-θ_k)) (iは虚数単位) このとき、閉曲線の回転数(巻数)はどうやっ...…

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平均が強収束しない例

…ヒルベルト空間の閉凸集合 C から Cへの非拡大写像 T が不動点をもつとき、T に対する平均が T の不動点に弱収束することが知られています。 強収束しない例はどのようなものがあるのでし...…

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