高2の数Ⅱの問題で a＋b＝1のとき、a^3＋b^3＝1-3ab の等式が成り立つことを証明せよ と

高2の数Ⅱの問題で

a＋b＝1のとき、a^3＋b^3＝1-3ab
の等式が成り立つことを証明せよ

という問題がわかりません、誰か助けてください！

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/28 12:17

a+b=1＿①

のとき、a³+b³=1-3ab＿②
を証明せよ。
①を3乗して展開すると③となるので③は成り立つ。
(a+b)³=1
a³+3a²b+3ab²+b³=1＿③
③から②を引くと
3a²b+3ab²=3ab＿④
④を3abで割ると⑤になる。
a +b=1＿⑤
これから逆に、⑤に3abをかけると④が成り立つ。③から④を引くと②が成り立つ。
証明終。
参考
覚える公式の第一は(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³の展開式で、係数は１３３１を二項係数という。
(a+b)²=a²+2ab+b²の展開式の二項係数は１2１でした。

No.5 回答者： takoハ 回答日時： 2018/04/22 15:44

公式なんて覚えなくていい！

パスカルの三角形を知っていれば！
1 3 3 1

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2018/04/22 15:37

a^3+b^3=(a+b)(a^2ーab＋b^2)=(a+b)｛(a+b)^2ー3ab｝

ここで、a+b=1を代入すればいい！

No.3 回答者： springside 回答日時： 2018/04/21 19:04

何も難しいことを考えず、ただ手を動かして計算するだけ。

3乗の公式だけ知っていればいい。

b=1-aだから、
左辺-右辺
=a³+(1-a)³-{1-3a(1-a)}
=a³+(1-3a+3a²-a³)-1+3a(1-a)
=a³+1-3a+3a²-a³-1+3a-3a²
=0
以上により、示された。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/04/21 19:29

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2018/04/21 18:51

a+b＝1

a^3＋b^3
＝(a+b)(a^2-ab+b^2)　←　3乗の因数分解･展開の公式を使う
＝(a+b)((a^2+2ab+b^2)-3ab)
＝(a+b)((a+b)^2-3ab)
∴a^3＋b^3＝1-3ab

3乗の因数分解･展開の公式
a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2)
この公式は時々使いますね。基本の公式なので覚えておかないといけないです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
公式覚え直します笑

お礼日時：2018/04/21 19:30

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2018/04/21 18:45

a+b=1 の両辺を三乗する。

両辺から3abを引いてから、a+b=1の関係を用いて左辺を整理すると証明したい式が現れます。これで証明になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/04/21 19:30