常微分方程式の解法について宜しくお願いします

微分方程式の初心者です、どうぞよろしくお願いします。
以下のような方程式に遭遇しました。教科書の例題を一歩進めた印象ですが、解く方法はあるのでしょうか？　A,B,Cは≠0の定数です。

dy　　　A(C - y)y
-- = ---------------
dx　　　　xy + B

また右辺分母で x → f(x) と、一般的な関数に置き換えた形、

dy　　　A(C - y)y
-- = ---------------
dx　　　f(x)y + B

の場合は解けますでしょうか？どうぞよろしく願いいたします。

No.6 回答者： gef00675 回答日時： 2008/12/11 17:14

＞　なぜ消去できるのですか

大変申し訳ありません。一般のf(x)について解けるというのは間違いでした。私の見誤りというか、妄想というか、混乱させてすみませんでした。

方程式をみやすくするため、
dx/dy=f(x)/(A(C-y))+B/(Ay(C-y))
のyを、dy/dt=A(C-y)となるようなtに変数変換すると（t=-1/A*log|y-C|）、
dx/dt=f(x)+g(t)・・・（♯）
の形にかけます。ここで、g(t)=B/(C±e^(-At))。（±はy<Cかどうかによる）
この形にまで簡単にしておけば、解けそうな場合が見つかりやすいと思います。

手元の本を調べてみました。
まず、ある初期値を与えたとき、この方程式の解がただ一つ定まるかどうかが問題です。初期値および（＃）の右辺の関数f(x)+g(t)が、リプシッツ条件を満たせば、解は一つに定まります。（解の存在定理です）以下、リプシッツ条件を満たすとして、

１．f(x)=ax+bの形のとき：
　線形微分方程式になるので、定数変化法で解けます。

２．完全微分形：
　（＃）に適当な関数を掛けて完全微分形に変形できるときは解けます。しかし、（♯）の方程式の場合、f(x)がよほど都合のいい形でないと、できそうな気がしません。

３．f(x)=(ｘの二次式）のとき：
　リカッチ方程式になります。解ける場合もありますが、初等的解法では解けないことが多いです。が、一般にf(x)がｘの多項式のときは、次の級数解法が使えます。

４．f(x)がべき級数で表されているとき：
　x＝（tのべき級数）の形を仮定し、方程式に代入して未定係数を決定します。もしかしたら、既知の関数で表せるかもしれません。数学公式集をみて、x(t)と似たような係数を持つ特殊関数が見つかれば、しめたものです。

５．逐次近似法
　x0(t)=x_0+∫g(t)dt （右辺のx_0は定数）
　x1(t)=∫(f(x0(t))+g(t))dt
　x2(t)=∫(f(x1(t))+g(t))dt
　x3(t)=∫(f(x2(t))+g(t))dt
……
と、順にxn(t)を決めていき、xn(t)がある関数に収束すれば、それが解になっています。

６．数値解法
　ルンゲクッタ法などです。

以上、ご参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。やはり、単純に解けないケースの方が多いこと、再認識しました。数値解が一番分りやすいですね。取り急ぎお礼まで。

お礼日時：2008/12/13 17:30

No.5 回答者： gef00675 回答日時： 2008/12/10 18:47

#４の訂正です。

　　dx/dy=f(x)/(A(C-y))+B/(Ay(C-y))・・・☆
　　から、とりあえず、第2項を省いた式
　　dx/dy=f(x)/(A(C-y))

でしたね。すみません。

No.4 回答者： gef00675 回答日時： 2008/12/10 18:08

からくりをいうと、（２）式は、

　dx/dy=（xだけの関数)*(ｙだけの関数)+(ｙだけの関数）
の形になっていて、第２項がｙだけの関数であり、なおかつ第２項を省いた式が変数分離形になっているから、線形ではないけども定数変化法っぽい方法で解けるのです。元の式
dx/dy=x/(A(C-y))+B/(Ay(C-y))・・・☆
から、とりあえず、第2項を省いた式
dx/dy=x/(A(C-y))
の解の一つを関数x=φ(y)とおいてみると、
x=K*φ(y)も解になっています。ここで、定数変化法のアイデアを使って、定数Kをyの関数K(y)に置き換えてみると、（あなたのΘ(y)で考えても同じことですが）元の式の解xは
dx/dy=Kφ'+K'φ=（☆の右辺）
満たしていなりませんが、この式の第１項は消えるから、残った第2項を満たすように、
K'φ=（☆の第2項）
となるようにK(y)をきめれば、解が求まるという寸法です。

この回答への補足

#4の大変明るいご教示に感謝しております。さらに#5の訂正もありがとうございます。かなりクリアになりつつあります。あと一歩で全体像が見えそうなのですが、あと、ひとつだけお聞きしてよろしいでしょうか？．．．

#4：最下行から3行目、『この式の第１項は消えるから』・・・とありますが、なぜ消去できるのですか？

この部分だけ分れば、全体がつながる感じがしております。もしお手数でなければ、コメントをお願いいたします。簡単で結構ですので。取り急ぎ。

補足日時：2008/12/10 20:11

No.3 回答者： gef00675 回答日時： 2008/12/05 00:53

dx/dy=x/(A(C-y))+B/(Ay(C-y))

と変形して、定数変化法を使います。解は
x=B/(A|C-y|^(1/A))∫|C-y|^(1/A-1)/y*dy
となります。
一般的な関数に置き換えた場合も、同様の方法で、
x=B/A*φ(y)*∫dy/(y(C-y)φ(y))
（ただし、φ(y)は、log|C-y|=-A∫dx/f(x)をxについて解いた関数）
となります。

この回答への補足

貴重なコメントありがとうございました。大変有益なヒントでした。恐れ入りますが、さらに少し質問を続けさせて頂きたいのですが．．．

xを一般的な関数f(x)で置き換えた場合、
dx/dy=f(x)/(A(C-y))+B/(Ay(C-y))　・・・(1)
これも線形方程式の雰囲気を持った形であります。
(1)を変形すると、
-A*∫dx/f(x) = log|C-y| + Θ(y)　・・・(2)
が導かれると思います。Θ(y)は、(1)式右辺第２項を、yを変数とする関数として強引に表現した関数（この時点では未知の関数）のつもりです。この先の問題は、(2)式のΘ(y)を決定することにあると思うのですが、この先、どのような展開になるのか？あるいは以下のようにご解答頂戴した解
--------------------------------------------------
x=B/A*φ(y)*∫dy/(y(C-y)φ(y))
（ただし、φ(y)は、log|C-y|=-A∫dx/f(x)をxについて解いた関数）
--------------------------------------------------
が、どのように導かれたのか？簡単で結構ですので、ご教示お願いできませんでしょうか？ポイントのみで結構です。(2)式をはじめ、私の展開自体が間違っている可能性も大であります。どうぞお許し下さいませ。どうぞ宜しくお願いいたします。

補足日時：2008/12/10 16:48

No.2 回答者： noname#111804 回答日時： 2008/12/04 21:00

この方程式は、非線型常微分方程式ですので、解析的には

解けません。

オイラー法等による近似解しかできません。

この回答への補足

コメントありがとうございました。私も、ルンゲクッタ法など使う準備をしていたのですが、dy/dx　を分母・分子逆さまにして、dx/dy　としてやれば、線形方程式になり、定数変化法が使えそうで、実際に最初の式はうまくいきます。問題は２番目の式、 x → f(x)とした場合です。２番目の式は、自分なりにクリアに展開できていません。すべて解析的な解が出てくるとは思えませんが、部分的にでも（つまり解析的に辿り着けるところまで）解析的にすすめることはできないのでしょうか？

補足日時：2008/12/10 16:55

No.1 回答者： gef00675 回答日時： 2008/12/04 16:53

dx/dy=x/(A(C-y))+B/(AC(C-y))+B/(ACy)

と変形すると、線形微分方程式の形になりますので、解くことができます。
２つ目の式も同様に
dx/dy=f(x)/(A(C-y))+B/(AC(C-y))+B/(ACy)
と変形すればよいです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。目から鱗です。分母・分子、ひっくり返すことは、考えもしませんでした。ただし、定数変化法が使えるのかどうか？ちょっと見通しが立ちません。

お礼日時：2008/12/10 16:53