A 回答 (5件)
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No.1
- 回答日時:
解と係数の関係を使う。
2解の積が負、判別式>0の時に成り立つ。
2解の積が負:(12-k²)/3<0より12-k²<0 ①
判別式>0:k²<24 ②
①よりk<-2√3 又は 2√3<k
②より -2√6 < k < 2√6
∴-2√6 < k <-2√3 又は2√3<k<2√6
No.2
- 回答日時:
3x^2-12x+12-k²=(√3x-2√3)²-k²=(√3x-k-2√3)(√3x+k-2√3)=0より、k=0では解が一つになるので、k≠0でこの方程式を解くと、
x=(1/√3)k+2、-(1/√3)k+2となる。
1)(1/√3)k+2>0かつ-(1/√3)k+2<0の時
k>-2√3かつk>2√3より、k>2√3。
2)(1/√3)k+2<0かつ-(1/√3)k+2>0の時
k<-2√3かつk<2√3より、k<-2√3。
よって、k>2√3、k<-2√3。
(別解)
解と係数の関係から、(12-k^2)/3>0であればよい。このkについての不等式を解くと、k>2√3、k<-2√3。
No.3
- 回答日時:
[補足]
2解の積が負の時は、(判別式)>0の条件は必要ありません。(ただ、解答には書いて置いた方が良いです)
理由としては、a≠0として、二次方程式ax²+bx+c=0の2解の積が負ということはc/aが負になります。なので、ac=a²×(c/a)より、a²>0から、acも負になります。
そこで判別式はb²-4acですが、acは負なので、-4acは正となります。よって、b²-4ac>0となるわけです。
これは解が2個あることを示しています。なので、2解が負の場合には判別式の条件は必要なく、c/a<0だけをチェックすればよいわけです。
No.4
- 回答日時:
二次方程式の二つの解をα,βとおくと、
3x²-12x+12-k² =3(x-α)(x-β) =3(x² -αx -βx +αβ) =3x² -3(α+β) +3αβ
この二つの解が正と負であるためには、αβ<0 を満たせばよい。
係数比較から
12-k²=3αβ
ここから αβ<0 より
12-k²<0
12<k²
したがって、12=(±√12)²=(±2√3)² なのだから
求めるkの範囲は、
k<-2√3, 2√3<k
となる。
No.5
- 回答日時:
y=f(x)=3x^2-12x+12-k^2 とおくと
x^2の係数が正だから
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線になる。
二方程式 3x^2-12x+12-k^2=0 が正の解と負の解を1つずつもつ条件は
f(0)<0
である。
したがって、
f(0)=12-k^2<0
k^2-12>0
(k+2√3)(k-2√3)>0
k<-2√3, 2√3<k
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
下に凸の放物線で、y軸と負の部分で交わるようなグラフをかくと、
必ず、x軸と正の部分と負の部分の2点で交わる。 ⇐ 正の部分で交わるときのxの値が正の解、負の部分で交わるときのxの値が負の解になる。
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