二次方程式3x²-12x+12-k²=0が正の解と負の解を一つずつもつような定数kの範囲の出し方を教

二次方程式3x²-12x+12-k²=0が正の解と負の解を一つずつもつような定数kの範囲の出し方を教えてください

No.5 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/11/05 22:47

y=f(x)=3x^2-12x+12-k^2　とおくと

x^2の係数が正だから
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線になる。

二方程式 3x^2-12x+12-k^2=0 が正の解と負の解を１つずつもつ条件は
f(0)<0
である。
したがって、
f(0)=12-k^2<0
k^2-12>0
(k+2√3)(k-2√3)>0
k<-2√3, 2√3<k

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下に凸の放物線で、ｙ軸と負の部分で交わるようなグラフをかくと、
必ず、ｘ軸と正の部分と負の部分の２点で交わる。　　⇐　正の部分で交わるときのｘの値が正の解、負の部分で交わるときのｘの値が負の解になる。

No.4 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/11/05 21:23

二次方程式の二つの解をα,βとおくと、

3x²-12x+12-k² =3(x-α)(x-β) =3(x² -αx -βx +αβ) =3x² -3(α+β) +3αβ

この二つの解が正と負であるためには、αβ<0 を満たせばよい。

係数比較から
12-k²=3αβ
ここから αβ<0 より
12-k²<0
12<k²

したがって、12=(±√12)²=(±2√3)² なのだから
求めるkの範囲は、
k<-2√3, 2√3<k
となる。

No.3 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/11/05 21:03

[補足]

２解の積が負の時は、(判別式)＞０の条件は必要ありません。（ただ、解答には書いて置いた方が良いです)

理由としては、a≠0として、二次方程式ax²+bx+c=0の２解の積が負ということはc/aが負になります。なので、ac=a²×(c/a)より、a²>0から、acも負になります。

そこで判別式はb²－4acですが、acは負なので、－4acは正となります。よって、b²－4ac>0となるわけです。

これは解が２個あることを示しています。なので、２解が負の場合には判別式の条件は必要なく、c/a<0だけをチェックすればよいわけです。

No.2 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/11/05 20:54

3x^2－12x＋12－k²=(√3x－2√3)²－k²=(√3x－k－2√3)(√3x＋k－2√3)=0より、k=0では解が一つになるので、k≠0でこの方程式を解くと、

x=(1/√3)k＋2、－(1/√3)k＋2となる。

1)(1/√3)k＋2>0かつ－(1/√3)k＋2<0の時

k>－2√3かつk>2√3より、k>2√3。

2)(1/√3)k＋2<0かつ－(1/√3)k＋2>0の時

k<－2√3かつk<2√3より、k<－2√3。

よって、k>2√3、k<－2√3。

(別解)

解と係数の関係から、(12－k^2)/3>0であればよい。このkについての不等式を解くと、k>2√3、k<－2√3。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/11/05 20:48

解と係数の関係を使う。

2解の積が負、判別式>0の時に成り立つ。

2解の積が負：(12-k²)/3<0より12-k²<0　①
判別式>0：k²<24　②

①よりk<-2√3 又は 2√3<k
②より -2√6 < k < 2√6

∴-2√6 < k <-2√3 又は2√3<k<2√6