x,yはx＾2+3y＾2＝1を満たす。このとき、3分の1x+y＾2の最大値と最小値と、そのときのx,

x,yはx＾2+3y＾2＝1を満たす。このとき、3分の1x+y＾2の最大値と最小値と、そのときのx,yの値
お願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/06 13:08

与条件式

　x^2 + 3y^2 = 1
より
　3y^2 = 1 - x^2 ≧ 0
　x^2 = 1 - 3y^2 ≧ 0
なので
　1 ≧ x^2　→　-1 ≦ x ≦ 1　　　　　①　
　1 ≧ 3y^2　→　-1/√3 ≦ y ≦ 1/√3　　②
ということになります。

イメージとしては
　t = (1/3)x + y^2
とおいて
　x = -3y^2 + 3t　　　　③
という「横向き放物線」を考えるのが分かりやすそうです。
・右に凸の横向き放物線
・軸は y=0 （つまり x 軸）
・頂点は (3t, 0)、x=3t は「x 切片」でもある
ということが分かれば、問題は
「③ の放物線が、与条件である x^2 + 3y^3 = 1 の楕円と共有点をもつ範囲で、最も「右」にあるときが t の最大値、最も「左」にあるときが t の最小値」
ということになります。

ここで、条件式より
　y^2 = (1 - x^2)/3
として t に代入すれば
　t = (1/3)x + (1 - x^2)/3　　　④
　 = (1/3)(-x^2 + x + 1)
　 = -(1/3)(x - 1/2)^2 + 5/12
これは x-t 平面にグラフを書けば
・上に凸の放物線
・頂点は (1/2, 5/12)
・軸は x=1/2
であることが分かります。

このグラフより、①の範囲では
　x=1/2 のとき t は最大で 5/12
　x=-1 のとき t は最小で -1/3
となることが分かります。

x=1/2 のとき④より
　y^2 = [1 - (1/2)^2]/3 = 1/4
よって
　y = ±1/2
これは②を満たす。

x=-1 のとき④より
　y^2 = [1 - (-1)^2]/3 = 0
よって
　y = 0
これは②を満たす。

以上より (1/3)x + y^2 は
x=1/2, y=±1/2 のとき最大値 5/12
x=-1, y=0 のとき最小値 -1/3
をとる。

この回答へのお礼

分かりやすくありがとうございます！他の御二方の解法も理解できました！ありがとうございます。

お礼日時：2019/08/07 19:53

No.2 回答者： 1発50円 回答日時： 2019/08/06 12:59

1番目の等式をy^2について解いてそれをx/3+y^2(=fとおきます。

)に代入して2次関数の最大、最小問題に持ち込みましょう。f(x)=(-x^2+x+1)/3です。 しかし、最初の等式で、y^2≧0なので、-1≦x≦1を見落とさないようにしてください。
あとは平方完成なり、軸または端で最大最小になることを使うなりして頑張ってください。
x=1/2(y=±1/2)で最大値 5/12
x=-1で(y=0)最小値 -1/3

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/08/05 23:46

x=cosθ, y=sinθ/√3(-π＜θ≦π, π：円周率）とすると、

(cosθ)^2 + 3(sinθ/√3)^2
=(cosθ)^2 + (sinθ)^2
=1

(1/3)x + y^2
=(1/3)cosθ + (sinθ/√3)^2
=(1/3)cosθ + (1/3)(sinθ)^2
=(1/3)(cosθ + (sinθ)^2)
=(1/3)(cosθ + 1 - (cosθ)^2)
=(-1/3)((cosθ)^2 - cosθ - 1)
=(-1/3)((cosθ-(1/2))^2 - (5/4))

cosθ=x=1/2のとき、最大値(-1/3)×(-5/4)=5/12となる。
cosθ=1/2より、θ=±π/3
y=sin(±π/3)/√3=(±√3/2)×(1/√3)=±1/2

-1≦cosθ≦1から、cosθ=1/2との差が大きいほうが最小となる。
よって、cosθ=x=-1のとき、最小値(-1/3)×((-1)^2 - (-1) - 1)=(-1/3)×1=-1/3となる。
cosθ=-1より、θ=π
y=sin(π)/√3=0

ゆえに、(1/3)x + y^2の最大値、最小値およびそのときのx, yは、
x=1/2, y=±1/2のとき、最大値5/12
x=-1, y=0のとき、最小値-1/3