二次関数y=x^2-4x+2の0≦x≦kにおける最大値と最小値を、次のそれぞれの場合について求めよ。

二次関数y=x^2-4x+2の0≦x≦kにおける最大値と最小値を、次のそれぞれの場合について求めよ。
①0＜k＜2
②2＜k＜4
③4＜k

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/23 10:30

kairou さん　一度、高校数学の参考書を読まれてはいかがでしょうか。

疑問が解消することでしょう
この手の問題はごろごろしていますよ。
もちろん、最大or最小値を定数ｋなどを用いて答える問題も必ず出てきます。

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2018/12/22 20:40

すみません、少し考え違いをしていたようです。

但し、① の場合、最大値は x=0 の時 y=2 ですが、
最小値は x=k の時で y=k²-4k+2 で、特定の数字で表せませんね。
③ の場合は、最小値は求められますが 最大値は k の2次式でしか表せないと思います。
② の場合だけ 最小と最大の値が定まりますね。

以上から、この問題が適切な問題であるかを 疑問に思ったのですが。

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/22 16:00

kairouさんはｋとｘを混同している感じでしょうか。

塾講をしていた経験上、ここのところは理解しにくいという人が多いようです。
区別をしっかりつけるために、xは文字ですがｋは数字だと思ってみるのも良いのではないかと感じます。
・kを具体的数字1.5だとします。
するとこの問題は、y=x^2-4x+2の0≦x≦1.5における最大値と最小値を求めよ。
ということに置き換えられます。
このとき、考える範囲は0から1.5までです。
グラフからx=0で最大y=2をとり
x=1.5で最小値（計算略）となりますよね。

・次にk=3だとします。
するとこの問題は、y=x^2-4x+2の0≦x≦3における最大値と最小値を求めよ。
ということに置き換えられます。
このとき、考える範囲は0から3までです。
グラフからx=0で最大y=2をとり
ｘ＝２で最小値-2を取ることになります。

・さらにk=4.5とします。
するとこの問題は、y=x^2-4x+2の0≦x≦4.5における最大値と最小値を求めよ。
ということに置き換えられます。
このとき、考える範囲は0から4.5までです。
グラフからx=4.5で最大をとり(計算略）
ｘ＝２で最小値-2を取ることになります。

本問は、この1.5、3、4.5が(数字)kに置き換わっただけの事です。
したがって、y=x^2-4x+2の0からkまが考える範囲ということになりますが、
ただ、kは数字とはいっても、はっきりと定まってはいない数字というような扱いですので、
kの数値によってグラフの考える範囲（考える範囲の右端）が変動し、結果最大と最小を取る部分が異なってくるのです。

①のとき、kは具体的には、0.1や0.2・・・k=1.99などですが、いずれであっても最小が考える範囲の右端(x=k)
最大が考える範囲の左端x=0になります。→上記k=1.5のときを参考に

②のとき、kは具体的には、2.1や2.2・・・k=3.99などですが、いずれであっても考える範囲内に頂点があるので最小は頂点（x=2)で、
最大は考える範囲の左端x=0になります。→上記k=3のときを参考に

③も同様に考えられます。考える範囲の頂点より左側と頂点より右側では、右側の方が広いので最大値は②とことなり考える範囲の右端(x=k)となります。→上記k=４.5のときを参考に

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2018/12/22 15:11

＞①のときx=0で最大値y=2

問題文の条件は 0≦x≦k ですから、x=k ですよね。
で、① の条件は 0<k<2 ですから、x=0 はあり得ないことになりませんか。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/22 14:53

問題文が正確だと仮定して

グラフを見ながら
①のときx=0で最大値y=2
x=kのとき最小値y=k²-4k+2
②のときx=0で最大値y=2・・・x=０の方がx=kよりも頂点から離れているから、x=0で最大
x=2で最小値y=-2
③のときx=kで最大値y=k²-4k+2・・・x=ｋの方がx=０よりも頂点から離れているから、x=kで最大
x=2で最小値y=-2
（参考：仮にk=4ならば、図からわかるとおり考える範囲はy軸から緑線まで、最大値は頂点からの距離が等しいので、x=0またはx=k=4の両者でとりその値は２、最小値は頂点でとりその値は-2）

問題の不備を指摘する意見もあるようですが、答えは一応上記のようになります。
個人的意見としては、可もなく不可もない問題のように思いますが・・・

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2018/12/22 14:22

問題は正しく書かれていますか。

「 ①0＜k＜2　 ②2＜k＜4　③4＜k 」 では、
最大、最小になるときの x の値は求められますが、
最小値、最大値は 書き表せません。

「 ①0≦k≦2 ②2≦k≦4 ③4≦k 」ではありませんか。
尤も、これでも 出題者の意図が分かりにくいですが。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/22 13:03

y=x^2-4x+2=(x-2)²-2より

この2次関数のグラフの頂点は(2,-2)・・・画像
0≦x≦kよりグラフで考える範囲はy軸から赤線まで（赤線はKの値により位置が変わる）
1 のとき赤線の位置は頂点より左です。
図から分かるとおりmaxはx=0(y軸）minはx=kのときです。
２のとき　赤線は頂点より右
よってminは頂点
maxは赤線の位置かそれともy軸の位置か　と考えます。
3のときも同様に
赤線は頂点より右
よってminは頂点
maxは赤線の位置かそれともy軸の位置か　と考えます。
（２と３の違いは、赤線が頂点から右に少し離れているのか、大幅に離れているか
ということ）

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2018/12/22 12:20

y=x^2-4x+2　←　式を平方完成させて頂点を求める

=(x^2-4x+4)+2-4
=(x-2)^2-2　頂点が求まった

①0＜k＜2
②2＜k＜4
③4＜k
後は上の3つの条件で最大値最小値を求めると良いのですが、
ぱっと見て
＞0≦x≦kにおける最大値と最小値
と3つの条件が整合が取れていない感じがします。