y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)-1 の最大値、最小値の求め方がわかりません。 教えてく

y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)-1
の最大値、最小値の求め方がわかりません。
教えてください。

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/10/12 20:14

y=(x²-2x)²+4(x²-2x)-1

=(x²-2x+2)²-5
={(x-1)²+1}²-5
ということで x=1 のとき ( )² が最小値 0 となるので { }² の最小値は 1 となり、このとき y の最小値は -4 となる。
また x がどちらにブレても y は増加するので最大値は存在しない。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/06 21:50

x の範囲が書かれてないけど、x は任意の実数ってことでいいのかな？

t = x^2 - 2x と置くと、 y = t^2 + 4t - 1 となる。
x が任意の実数だと、 t = (x - 1)^2 - 1 より t の範囲は t ≧ -1.
t ≧ -1 での y の範囲は、 y = (t + 2)^2 - 5 より (-1 + 2)^2 - 5 ≦ y.
最小値は (-1 + 2)^2 - 5 = - 4 で、最大値は存在しない(いくらでも大きい値をとる。)