高校数学 4次方程式の解と係数の条件

a,b,cは整数とする
4次方程式x^4+ax^3+bx^2+cx+3=0の実数解が1と3となるようなaの最大値、最小値を求めよ

この問題の解法を教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/07 15:04

4次方程式x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 3=0の実数解が1と3なので、

1+a+b+c+3=0
a+b+c+4=0 …(j)

81+27a+9b+3c+3=0
27+9a+3b+c+1=0
9a+3b+c+28=0 …(k)

(k)-(j)より、
8a+2b+24=0
2b=-(8a+24)
b=-(4a+12)

a-(4a+12)+c+4=0
-3a+c+16=0
c=3a-16

x^4 + ax^3 - (4a+12)x^2 + (3a-16)x + 3=0の実数解が1と3となる組み合わせは、

(1) (x-1)(x-3)(x^2 + px + q)=0と因数分解でき、x^2 + px + q=0が実数解をもたない場合
(2) (x-1)^2 (x-3)^2=0の場合（x=1, 3が共に2重解の場合）
(3) (x-1)^3 (x-3)=0の場合（x=1が3重解の場合）
(4) (x-1) (x-3)^3=0の場合（x=3が3重解の場合）

の4通りになる。
それぞれの組み合わせごとに展開して、aが整数以外の場合は不適として除外する。
x^2 + px + q=0が実数解をもたない場合は、判別式D<0となるp, qの範囲を絞り込む。
最終的にaの取りうる範囲を確認し、最大値、最小値を導出する。

解き方としては、こんな感じかな。

この回答へのお礼

ありがとうございます!答えを出せました!

お礼日時：2020/06/07 16:03

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/07 15:11

一部訂正。

4次方程式の定数項が3なので、(2)と(4)は明らかに不適なので考えなくて良い。
あと(1)は定数項が3よりq=1なのは明らか。

(1),(3)の組み合わせごとに展開して、次数ごとの係数比較を行い、aが整数以外の場合は不適として除外する。
x^2 + px + 1=0が実数解をもたない場合は、判別式D<0となるpの範囲を絞り込む。
最終的にaの取りうる範囲を確認し、最大値、最小値を導出する。