高校数学で質問があります。

高校数学で質問があります。
問
3次関数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)がある。y=f(x)のグラフが、そのグラフ上の点Aに関して対称であるとき、Aのx座標を求めよ。
この問題の解説を読んでも任意の点Pや対称の話でグラフが書いてないため何をしているのかよくわかりません。
どなたかグラフのスケッチとこの解説の解説をお願いしてもよろしいでしょうか
解説
点Aのx座標をkとする。
y=f(x)のグラフ上の任意の点P(x,y)に対して、点Pと点A(k,f(k))に関して対称な点をQ(X,Y)とすると
x+X/2 = k …①　y+Y/2 =f(k)…②
ゆえに X=2k-x, Y=2f(k)-y
y=f(x)のグラフが点Aに関して対称である条件は、Qがy=f(x)のグラフ上にあることであるから
Y = 2f(k)-y
=2(ak³+bk²+ck+d)-(ax³+bx²+cx+d)
=-ax³-bx²-cx+(2ak³+2bk²+2ck+d)
f(X)=f(sk-x)
=a(2k-x)³+b(2k-x)²+c(2k-x)+d
=a(8k³-12k²+6kx²-x³)+b(4k²-4kx+x²)+2ck-cx+d
=-ax³+(6ax+b)x²-(12ak²+4ak+c)x+(8ak³+4bk²+2ck+d)
f(X)-f(Y)=であるから
(6ak+2b)x²-(12ak²+4bk)x+(6ak³+2bk²)=0
2(3ak+b)x²-4k(3ak+b)x+2k²(3ak+b)=0
(3ak+b)(x²-2kx+k²)=0
(3ak+b)(x-k)²=0
これがxの恒等式であるから　3ak+b=0
a≠0であるからk=-b/3a

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/13 19:06

ここ↓に解答例を書いておきました。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13351743.html

３次関数のグラフは、極値の有無によって形がずいぶん違うので、
グラフを使って説明しようとすると、面倒な場合分けが生じそうです。

３次関数のグラフが常に点対称であることは、
２次関数のグラフが常に線対称であるのと同じくらい
常識的な知識なので、 x の２次項を消すテクニックについても
知っておくのが普通かと思います。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/13 18:13

図あるなしにかかわらず、(x,y)と(X,Y)の、つまり

(x,f(x)),(X,f(X))の中点が (k,f(k))になる。

ということだけ。なお
(x+X)/2 = k …①　(y+Y)/2 =f(k)…②
→ (x+X)/2 = k …①　(f(x)+f(X))/2 =f(k)…②
であるが、誤記が多すぎ。

>f(X)=f(sk-x) → f(X)=f(2k-x)
=a(2k-x)³+b(2k-x)²+c(2k-x)+d
・・・・・
=-ax³+(6ak+b)x²-(12ak²+4ak+c)x+(8ak³+4bk²+2ck+d) ←

>f(X)-f(Y)=であるから → f(X)-Y=0


面倒なので、結果が合ってるか不明。