関数f(x)=x3乗−ax2条+(1-2a)x+4が極大値と極小値を持つような定数aの範囲を求む。

関数f(x)=x3乗−ax2条+(1-2a)x+4が極大値と極小値を持つような定数aの範囲を求む。
の解き方を教えていただきたいです！
問題文がわかりにくくて申し訳ないです。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/02/06 23:11

3次関数が極大値、極小値をもつための必要十分条件は、以下。

f(x)の導関数f'(x)の判別式が正であること

導関数f'(x)は
f'(x)=3x^2 - 2ax + (1-2a)

f'(x)の判別式は
(2a)^2 - 4×3×(1-2a)>0
4a^2 - 12(1-2a)>0
a^2 - 3(1-2a)>0
a^2 + 6a - 3>0

解の公式より、
a=(-6±√(6^2 - 4×(-3)))/2
=(-6±√(36 +12))/2
=(-6±√48)/2
=(-6±√(16×3))/2
=(-6±4√3)/2
=-3±2√3

よってa<-3-2√3 または a>-3+2√3

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/06 23:00

f'(x)=3x²+1-2a

増減表を書けばわかるが
f(x)が極値を持つためには
f'(x)=0となる前後で　f'(x)の符号が変わることが必要
今回f'(x)はｘの2次関数だから
分かりやすいように　f'(x)をｙにおきかえて考えると
y=3x²+1-2aが　ｙ＝０となる前後でｙの値の符号が変わればよいということになる
これをグラフに置き換えてみると、2次関数グラフがｘ軸をまたげば良いということ
このような状態のグラフはx軸と2回交わる
つまりｘ軸との交点が2個あるということ
このとき、3x²+1-2a=0が異なる２つの実数解をもつことになるから
判別式Dは
D=1²-4・３・(-2a)>0
これが極値を持つ条件！