関数の極値と微分係数の関係について

数Ⅱの青チャートには、「関数 f(x) がx=a で極値をとるならば、f'(a)=0 」とはっきり書いてあります。
しかし、某大学の過去問を解いていて、f'(x)=0 でなくても極値にカウントしているのを見つけました。
具体例だと、f(x)=|x^2-1| で、x=±1 で極小値を取る、といった感じです。
x=±1 では、微分係数が定義できません。でもグラフを描くと、確かに極小値に見えます。
微分係数が定義できなくても極値とみなせるなら、「極値を取る」と「微分係数が０」の関係は必要条件でも十分条件でもなくなるのでしょうか。青チャートの文言は、間違いというか、不正確なのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/23 15:03

某大学の過去問はあっています。

極値の定義は
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4
です。

つまり、微分可能の如何によりません。そして、微分可能なら
　f'(a)=0
になる。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ウィキペディアが難しすぎて何を言ってるかよくわからないですが、「微分可能の如何によらない」とお答えくださって、すっきりしました。青チャートは、初心者（？）向けの書き方なんでしょうかね。

お礼日時：2023/04/23 16:08

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/23 21:28

>「関数 f(x) がx=a で極値をとるならば、f'(a)=0 」とはっきり書いてあります

ここだけ読む限りでは誤りですね。
極値の定義には微分可能も連続も出てきません。
x=aの充分狭い近傍でf(a)が最小値、あるいは最大値になるなら
f(a)は極値です。f'(x)がx=a微分不能でも極値の場合が有ります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。習熟度に応じて表記を変えることはありかもしれませんが、このページだけだと誤解を生みそうですね。

お礼日時：2023/04/24 22:56

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/23 21:02

＞ 数Ⅱでは微分可能性については厳密にやらないので、

＞ そこを端折って書かれているのかなと思いました。

そうなんですか？
だとすると、間違っていたのは、貴方でも、青チャーとでもなく、
数Ⅱの教程そのものだった ということになりますが。

心外かどうかはともかく、御質問の点に関する
正確な記述は No.3 に書いたとおりです。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/23 16:31

補足

Wiki は簡明です。点aのある近傍が存在して、そこに含まれる
任意の点xについて
　f(a)≦f(x)
となるとき、f(x)は点aで極小値をとるという。極大の定義も
同様で、2つ合わせて極値という。

なお、f(x)は微分可能でも連続である必要もありません。

この回答へのお礼

近傍とは、すぐ近くというような意味ですね。
２回のご回答、ありがとうございました。

お礼日時：2023/04/23 17:36

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/23 16:11

関数が極値をとる点で微分可能なら、そこでの微分係数の値は 0 です。

しかし、質問文に例があるように、極値点で微分可能だとは限りません。
また、微分係数の値が 0 であっても、そこが極値だとも限りません。
例えば、f(x) = x^3 の x=0 のように。

よって、「極値を取る」は「微分係数が０」の必要条件でも十分条件でもありません。
ただし、冒頭に書いたように、「微分可能かつ極値を取る」は「微分係数が０」の
十分条件ではあります。

その青チャートの文言がどういう文脈で登場したのかは知りませんが、
おそらく、f(x) が x=a で微分可能であることは、暗黙に仮定されているか
そこまでの文章で判るようになっていたのでしょう。
貴方の切り取り方が、不正確で間違いなのだと思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
青チャートは最初に重要事項のまとめ的な説明があるんです。数Ⅱでは微分可能性については厳密にやらないので、そこを端折って書かれているのかなと思いました。
私は一部分だけ切り取って書いたわけではありませんので、ちょっと心外ですよ。

お礼日時：2023/04/23 17:34

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/23 16:04

数Ⅱですから、そこまで厳密でも無いと言う事でしょうか。

f'(a)=0は必須では有りません。
x=a の「近傍」でf(x) が連続である事が必須条件です。

f'(x)の符号が、「ある値」の前後で変化したらx=「ある値」で極値です。
この場合、「ある値」が±1です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
確かに、f'(x)の符号が変化することが必要十分条件ですね。数Ⅱだからそこまで厳密でないというのも、ちょっとだけショックです。

お礼日時：2023/04/23 17:30