虚数解

a,bは実数とする。3次式x^3+ax^2+bx-10=0が1+2iを解に持つとき、定数a,bの値とほかの解を求めよという問題の解き方がわかりません。

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/05 21:33

実係数代数方程式が虚数解を持つときは、

共役複素解をまとめて持つ。
よって、 x^3+ax^2+bx-10=0 は x=1+2i の他に x=1-2i も解に持ち、
残りひとつの解を c とすると
x^3+ax^2+bx-10=(x-1-2i)(x-1+2i)(x-c) と書ける。
右辺を展開して各項の係数を比較すると、
a,b,c についての連立一次方程式が得られる。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2022/08/05 21:11

3次式の 1つの解が 1+2i ならば、1-2i も解になる。

他の実数解を p とすれば、(x-p)(x-1-2i)(x-1+2i)=0 となる。
これを展開して 係数の比較で a,b を求める。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/05 20:14

x^3+ax^2+bx-10=0

x=1+2i
x-1=2i
(x-1)^2=-4
x^2-2x+1=-4
x^2-2x+5=0

...... x+a+2
x^2-2x+5)x^3+ax^2 +bx -10
...... x^3-2x^2 +5x
....... (a+2)x^2 +(b-5)x-10
...... (a+2)x^2-2(a+2)x+5(a+2)
........... (2a+b-1)x-5a-20

x^3+ax^2+bx-10=(x^2-2x+5)(x+a+2)+(2a+b-1)x-5a-20

2a+b-1=0
-5a-20=0
-20=5a
-4=a
-8+b-1=0
b=9
x=-a-2=2

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/08/05 18:44

まずは「3次式x^3+ax^2+bx-10=0が1+2iを解に持つ」を式にしてみよう.

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2022/08/05 18:43

虚数解1+2iを持つ二次方程式は酔っ払ったおっさんの計算によるとx^2-2x+5=0なので問題の式は(x^2-2x+5)(x-γ)=0と書き表せる。

問題の式の定数項が-10であることを考慮するとγは2となる。これを代入して展開して係数を比較すればa,bは求められる。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/08/05 18:42

1+2iが解の時、1-2iも解。

これを使う