x^3-93x-308=0の時、xを求めよ。

解と係数の関係から、3つ上手い具合に整数解を取れます。

しかしその解法はいりません。

自分の解答：

x=t+(31/t)

(t+31/t)^3-93(t+31/t)-308=0

-308 + 29791/t^3 + t^3=0

t^3=k

としてkの2次方程式を解いたら虚数解が出てきました。

でここで諦めました。

この解法を修正する形で答えを教えていただけませんか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/14 20:58

＞ この解法を修正する形で

あなたのやった方法は、実質的に
有名なカルダノの方法と同じことです。

カルダノの方法では 2次の補助方程式が出てきますが、
もとの 3次方程式が 3実解を持つときは、補助方程式は虚数解、
3次方程式が １実解 2虚数解を持つときは、補助方程式は 2実解
を持つことが知られています。

だから、その解法の延長線上で虚数計算を避けることはできません。
虚数の 3乗根をものともせず、その解法で力押しするか、
別の解法をとるか、を選ばないといけません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

wolfram alphaに解かせたら、虚数が打ち消し合って解けました。

お礼日時：2023/12/14 21:47

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/16 13:11

質問の解法は、x = ³√k + 31/³√k としてるから、

カルダノ法で生じる見かけ 9 個の解の問題は起こらないねどね。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/12/15 20:45

たぶん, 複素数の 3乗根を a+ib (a, b は実数) の形に開くにはなんらかの幸運が必要だと思う. と思って Wikipedia をつらつら探したら

実数に対する有限回の代数演算では不可能
だってさ.

このケースに限定すれば幸運があるかもしれないよ.

なお還元不能な場合には「共役な 2個の複素数の 3乗根の和」が出てくるんだけど, 実はこの「3乗根」同士の積が実数にならなきゃいけないという条件を持つので共役なものしか選べない. よって和をとると実数になる.

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/14 20:48

x の有理数解があったとすると、

x = (定数項 308 の約数)/(x^3 の係数 1 の約数) という形のものに限られます。
この定理は有名ですね。

308 の素因数分解が (2^2)(7^1)(11^1) ですから、
今回の方程式の有理数解は x = ±(2^a)(7^b)(11^c) {a=0,1,2;b=0,1;c=0,1}
の 24 通りに限られます。

有理数解があるとも限らないのですが、あることに期待して
24 通り端から代入してみると、x = -4, -7, 11 が解であることが見つかります。
ラッキー。 解が 3個見つかったので、
x^3 - 93x - 308 = (x + 4)(x + 7)(x - 11) でオシマイです。

24 通り全て試してみなくても、最初の 1個が見つかった時点で
因数定理から x^3 - 93x - 308 = (x - 何か)(x の2次式) と分解できるので、
その後は2次方程式の解法で十分ですね。
x = 11 が最初に見つかるかな？ x = -4 が先かな？ どっちでも同じことですが。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/14 20:30

x^3-93x-308=0

f(x)=x^3-93x-308
とすると
f(-4)=4(-16+93)-308=4*77-308=0

だから因数定理から
f(x)=x^3-93x-308はx+4で割り切れる

x^2-4x-77
x+4)x^3 -93x-308
x^3+4x^2
-4x^2-93x
-4x^2-16x
-77x-308
-77x-308

x^3-93x-308
=(x+4)(x^2-4x-77)
=(x+4)(x+7)(x-11)=0

x=-4 または x=-7 または　x=11